Номер 21.25, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.25, страница 210.

Условие.

21.25. В зависимости от значения параметра $a$ определите количество корней уравнения:

1) $(x+1)\sqrt[4]{x-a}=0;$

2) $(x-1)(\sqrt[4]{x}-a)=0.$

Решение.

1)

Рассмотрим уравнение $(x + 1)\sqrt[4]{x-a} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - a \ge 0$, то есть $x \ge a$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Уравнение равносильно совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} x+1=0 \\ \sqrt[4]{x-a}=0 \end{array} \right.$ при условии $x \ge a$.

Решим каждое уравнение совокупности:

1. $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень является решением исходного уравнения, только если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при выполнении условия $-1 \ge a$.

2. $\sqrt[4]{x-a} = 0 \implies x - a = 0 \implies x = a$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ, так как неравенство $a \ge a$ является верным при любом значении $a$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$.

- Если $a < -1$, то условие $-1 \ge a$ выполняется. Уравнение имеет два различных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = a$ (они различны, так как по условию $a \ne -1$).

- Если $a = -1$, то условие $-1 \ge a$ (т.е. $-1 \ge -1$) выполняется. Первый корень $x = -1$ существует. Второй корень $x = a$ также равен $-1$. В этом случае корни совпадают, и уравнение имеет один корень $x = -1$.

- Если $a > -1$, то условие $-1 \ge a$ не выполняется, следовательно, $x = -1$ не является корнем. Единственным решением остается $x = a$.

Объединяя последние два случая, получаем, что при $a \ge -1$ уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < -1$, то 2 корня; если $a \ge -1$, то 1 корень.

2)

Рассмотрим уравнение $(x - 1)(\sqrt[4]{x} - a) = 0$.

ОДЗ уравнения определяется наличием корня четвертой степени: $x \ge 0$.

Уравнение равносильно совокупности $\left[ \begin{array}{l} x-1=0 \\ \sqrt[4]{x}-a=0 \end{array} \right.$ при условии $x \ge 0$.

1. Уравнение $x - 1 = 0$ дает корень $x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), поэтому $x = 1$ является корнем исходного уравнения при любом значении $a$.

2. Уравнение $\sqrt[4]{x} - a = 0$ равносильно уравнению $\sqrt[4]{x} = a$.

Поскольку значение арифметического корня $\sqrt[4]{x}$ по определению неотрицательно, данное уравнение может иметь решения только при $a \ge 0$.

Проанализируем количество корней в зависимости от $a$.

- Если $a < 0$, уравнение $\sqrt[4]{x} = a$ не имеет решений. В этом случае исходное уравнение имеет только один корень $x=1$.

- Если $a \ge 0$, уравнение $\sqrt[4]{x} = a$ имеет единственный корень $x = a^4$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ ($a^4 \ge 0$). Таким образом, при $a \ge 0$ исходное уравнение имеет корни $x=1$ и $x=a^4$.

Найдем, при каких значениях $a$ из промежутка $a \ge 0$ эти два корня совпадают: $1 = a^4$. Так как $a \ge 0$, единственным решением является $a = 1$.

Сведем все случаи воедино:

- Если $a < 0$, уравнение имеет один корень ($x=1$).

- Если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, уравнение имеет два различных корня ($x=1$ и $x=a^4$).

- Если $a=1$, корни совпадают ($x=1$ и $x=1^4=1$), и уравнение имеет один корень.

Окончательный результат:

Уравнение имеет один корень, если $a < 0$ или $a=1$.

Уравнение имеет два корня, если $a \ge 0$ и $a \ne 1$.

Ответ: если $a < 0$ или $a = 1$, то 1 корень; если $a \ge 0$ и $a \neq 1$, то 2 корня.