Номер 22.2, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.2, страница 215.

Условие.

22.2. Вычислите:

1) $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$;

2) $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4}$;

3) $\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}}$;

4) $\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}}$.

Решение.

1) Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, разделим выражение на два корня:
$\sqrt[3]{0,064 \cdot 343} = \sqrt[3]{0,064} \cdot \sqrt[3]{343}$.
Вычислим каждый корень отдельно. Так как $0,4^3 = 0,064$ и $7^3 = 343$, получаем:
$\sqrt[3]{0,064} = 0,4$
$\sqrt[3]{343} = 7$
Теперь перемножим полученные значения:
$0,4 \cdot 7 = 2,8$.
Ответ: 2,8

2) Применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{11^4}$.
Вычислим каждый корень. Так как $0,3^4 = 0,0081$ и $\sqrt[4]{11^4}=11$, получаем:
$\sqrt[4]{0,0081} = 0,3$
$\sqrt[4]{11^4} = 11$
Перемножим результаты:
$0,3 \cdot 11 = 3,3$.
Ответ: 3,3

3) Используем свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и свойство извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{7^5}}{\sqrt[5]{2^{10}}}$.
Вычислим числитель и знаменатель, используя свойство корня из степени:
$\sqrt[5]{7^5} = 7^{5/5} = 7^1 = 7$
$\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{10/5} = 2^2 = 4$
В результате получаем дробь:
$\frac{7}{4}$.
Ответ: $\frac{7}{4}$

4) Применим свойства корней для частного и произведения, а также свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}} = \frac{\sqrt[8]{2^{24} \cdot 3^{16}}}{\sqrt[8]{5^{16}}} = \frac{\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{3^{16}}}{\sqrt[8]{5^{16}}}$.
Вычислим каждый множитель по отдельности, поделив показатель степени на показатель корня:
$\sqrt[8]{2^{24}} = 2^{24/8} = 2^3 = 8$
$\sqrt[8]{3^{16}} = 3^{16/8} = 3^2 = 9$
$\sqrt[8]{5^{16}} = 5^{16/8} = 5^2 = 25$
Подставим значения в выражение и получим результат:
$\frac{8 \cdot 9}{25} = \frac{72}{25}$.
Ответ: $\frac{72}{25}$