Номер 22.6, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.6, страница 215.

Условие.

22.6. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt{x}};$

2) $\sqrt{\sqrt{y}};$

3) $\sqrt[12]{a^3};$

4) $\sqrt[21]{a^{14}b^7};$

5) $\sqrt[9]{64}.$

Решение.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[6]{\sqrt{x}}$ воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В данном случае, показатель внешнего корня $m=6$, а показатель внутреннего (квадратного) корня $n=2$. Перемножая показатели корней, получаем:

$\sqrt[6]{\sqrt{x}} = \sqrt[6 \cdot 2]{x} = \sqrt[12]{x}$.

Ответ: $\sqrt[12]{x}$.

2)

Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{y}}$ применим то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Показатель внешнего (квадратного) корня $m=2$, а показатель внутреннего (кубического) корня $n=3$. Перемножаем показатели:

$\sqrt{\sqrt[3]{y}} = \sqrt[2 \cdot 3]{y} = \sqrt[6]{y}$.

Ответ: $\sqrt[6]{y}$.

3)

Для упрощения выражения $\sqrt[12]{a^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. В данном случае показатель корня равен 12, а показатель степени подкоренного выражения равен 3. Наибольший общий делитель (НОД) для 12 и 3 равен 3. Разделим показатель корня и показатель степени на 3:

$\sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12:3]{a^{3:3}} = \sqrt[4]{a^1} = \sqrt[4]{a}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

4)

Для упрощения выражения $\sqrt[21]{a^{14}b^7}$ используем то же свойство, что и в пункте 3. Показатель корня равен 21. Показатели степеней подкоренных выражений равны 14 и 7. Находим наибольший общий делитель для чисел 21, 14 и 7, который равен 7. Разделим показатель корня и показатели степеней каждого множителя в подкоренном выражении на 7:

$\sqrt[21]{a^{14}b^7} = \sqrt[21:7]{a^{14:7}b^{7:7}} = \sqrt[3]{a^2b^1} = \sqrt[3]{a^2b}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a^2b}$.

5)

Для упрощения выражения $\sqrt[9]{64}$ сначала представим подкоренное число 64 в виде степени. Число 64 является шестой степенью числа 2: $64 = 2^6$. Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^6}$.

Теперь сократим показатель корня (9) и показатель степени (6) на их наибольший общий делитель, который равен 3.

$\sqrt[9]{2^6} = \sqrt[9:3]{2^{6:3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.