Номер 22.12, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.12, страница 216.

Условие.

22.12. Внесите множитель под знак корня:

1) $\frac{1}{4} \sqrt[3]{320}$;

2) $2 \sqrt[4]{7}$;

3) $5 \sqrt[4]{4a}$;

4) $2x^3 \sqrt[5]{\frac{x^3}{8}}$.

Решение.

1) Чтобы внести множитель $ \frac{1}{4} $ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в третью степень и результат умножить на подкоренное выражение.
$ \frac{1}{4}\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^3 \cdot 320} $
Возводим множитель в куб: $ (\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64} $.
Теперь умножаем полученное значение на подкоренное выражение:
$ \sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} $
Выполняем деление: $ 320 \div 64 = 5 $.
В результате получаем: $ \sqrt[3]{5} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{5} $

2) Чтобы внести множитель 2 под знак корня четвертой степени, нужно возвести множитель в четвертую степень и умножить результат на подкоренное выражение.
$ 2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7} $
Возводим множитель в четвертую степень: $ 2^4 = 16 $.
Теперь умножаем полученное значение на подкоренное выражение:
$ \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{112} $

3) Чтобы внести множитель 5 под знак корня четвертой степени, нужно возвести множитель в четвертую степень и умножить результат на подкоренное выражение. Для того чтобы корень четной степени был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $ 4a \ge 0 $, что означает $ a \ge 0 $.
$ 5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a} $
Возводим множитель в четвертую степень: $ 5^4 = 625 $.
Теперь умножаем полученное значение на подкоренное выражение:
$ \sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{2500a} $

4) Чтобы внести множитель $ 2x^3 $ под знак корня пятой степени, необходимо возвести этот множитель в пятую степень и умножить результат на подкоренное выражение. Так как степень корня нечетная, никаких ограничений на знак множителя и подкоренного выражения не накладывается.
$ 2x^3\sqrt[5]{\frac{x^3}{8}} = \sqrt[5]{(2x^3)^5 \cdot \frac{x^3}{8}} $
Возводим множитель в пятую степень, используя свойство степени произведения $ (ab)^n = a^n b^n $ и свойство степени степени $ (a^m)^n = a^{mn} $:
$ (2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{3 \cdot 5} = 32x^{15} $.
Теперь подставляем это значение под знак корня и выполняем умножение:
$ \sqrt[5]{32x^{15} \cdot \frac{x^3}{8}} = \sqrt[5]{\frac{32}{8} \cdot x^{15} \cdot x^3} $
Упрощаем выражение под корнем, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ \frac{32}{8} = 4 $ и $ x^{15} \cdot x^3 = x^{15+3} = x^{18} $.
В результате получаем: $ \sqrt[5]{4x^{18}} $.
Ответ: $ \sqrt[5]{4x^{18}} $