Номер 22.16, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.16, страница 216.

Условие.

22.16. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$;

4) $\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}}$;

5) $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}$;

6) $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}$.

Решение.

1) $ \sqrt{a\sqrt{a}} $

Для упрощения выражения представим корни в виде степеней с рациональными показателями, используя свойство $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $.

Внутреннее выражение $ a\sqrt{a} $ можно записать как $ a^1 \cdot a^{1/2} $. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $ a^{1 + 1/2} = a^{3/2} $.

Теперь исходное выражение принимает вид: $ \sqrt{a^{3/2}} $.

Это равносильно $ (a^{3/2})^{1/2} $. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $ a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{3/4} $.

Возвращаясь к записи с корнем, получаем: $ \sqrt[4]{a^3} $.

Ответ: $ \sqrt[4]{a^3} $

2) $ \sqrt[3]{3\sqrt{3}} $

Представим выражение под кубическим корнем в виде степени: $ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2} $.

Исходное выражение становится $ \sqrt[3]{3^{3/2}} $.

Представим корень как степень: $ (3^{3/2})^{1/3} $. Перемножим показатели: $ 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{1/2} $.

Запишем результат в виде корня: $ \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $

3) $ \sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} $

Упростим выражение под кубическим корнем: $ b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{1/4} = b^{1 + 1/4} = b^{5/4} $.

Теперь имеем $ \sqrt[3]{b^{5/4}} $.

Перейдем к степеням: $ (b^{5/4})^{1/3} $. Перемножим показатели: $ b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = b^{5/12} $.

Запишем в виде корня: $ \sqrt[12]{b^5} $.

Ответ: $ \sqrt[12]{b^5} $

4) $ \sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}} $

Упростим выражение под корнем девятой степени: $ c^2\sqrt[4]{c} = c^2 \cdot c^{1/4} = c^{2 + 1/4} = c^{9/4} $.

Получаем $ \sqrt[9]{c^{9/4}} $.

В виде степени это $ (c^{9/4})^{1/9} $. Перемножаем показатели: $ c^{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{9}} = c^{1/4} $.

Запишем в виде корня: $ \sqrt[4]{c} $.

Ответ: $ \sqrt[4]{c} $

5) $ \sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}} $

Начнем с внутреннего корня: $ \sqrt[6]{x^{13}} = x^{13/6} $.

Выражение принимает вид $ \sqrt[5]{x^2 \cdot x^{13/6}} $.

Сложим показатели степеней под корнем: $ x^{2 + 13/6} = x^{12/6 + 13/6} = x^{25/6} $.

Теперь имеем $ \sqrt[5]{x^{25/6}} $.

В виде степени: $ (x^{25/6})^{1/5} $. Перемножаем показатели: $ x^{\frac{25}{6} \cdot \frac{1}{5}} = x^{5/6} $.

Запишем в виде корня: $ \sqrt[6]{x^5} $.

Ответ: $ \sqrt[6]{x^5} $

6) $ \sqrt[4]{a\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}}} $

Упростим выражение, двигаясь изнутри наружу.

1. Самое внутреннее выражение: $ a^3\sqrt[3]{a} = a^3 \cdot a^{1/3} = a^{3+1/3} = a^{10/3} $.

2. Подставим результат в следующий корень: $ \sqrt[4]{a^{10/3}} = (a^{10/3})^{1/4} = a^{10/12} = a^{5/6} $.

3. Теперь выражение под внешним корнем: $ a \cdot a^{5/6} = a^1 \cdot a^{5/6} = a^{1+5/6} = a^{11/6} $.

4. Применим внешний корень: $ \sqrt[4]{a^{11/6}} = (a^{11/6})^{1/4} = a^{11/24} $.

Запишем в виде корня: $ \sqrt[24]{a^{11}} $.

Ответ: $ \sqrt[24]{a^{11}} $