Номер 22.10, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.10, страница 216.

Условие.

22.10. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $ \sqrt[4]{80} $;

2) $ \sqrt[3]{432} $;

3) $ \sqrt[3]{54y^8} $;

4) $ \sqrt[4]{243b^9c^{18}} $.

Решение.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{80}$, необходимо разложить подкоренное число 80 на множители таким образом, чтобы один из множителей был точной четвертой степенью какого-либо числа.

Разложим 80 на простые множители: $80 = 8 \times 10 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 5) = 2^4 \times 5$.

Как видим, 80 можно представить как $16 \times 5$, где 16 это $2^4$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \times 5} = \sqrt[4]{2^4 \times 5}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$), получаем:

$\sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.

Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

2) Для выражения $\sqrt[3]{432}$ найдем множитель числа 432, который является точным кубом.

Разложим 432 на множители. Можно заметить, что 432 делится на 2: $432 = 2 \times 216$.

Число 216 является кубом числа 6, так как $6^3 = 216$.

Таким образом, $432 = 216 \times 2 = 6^3 \times 2$.

Подставим разложение в выражение под корнем:

$\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{216 \times 2} = \sqrt[3]{6^3 \times 2}$.

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{6^3} \times \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $6\sqrt[3]{2}$.

3) В выражении $\sqrt[3]{54y^8}$ необходимо вынести множители как для числового коэффициента, так и для переменной.

Разложим число 54: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.

Для переменной $y^8$ представим ее степень 8 в виде суммы слагаемых, одно из которых кратно 3 (показателю корня): $8 = 6 + 2$.

Следовательно, $y^8 = y^6 \times y^2 = (y^2)^3 \times y^2$.

Объединим разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{(3^3 \times 2) \times ((y^2)^3 \times y^2)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot (y^2)^3 \cdot 2y^2}$.

Теперь вынесем множители, являющиеся точными кубами:

$\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{(y^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}$.

Ответ: $3y^2\sqrt[3]{2y^2}$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$. Вынесем множители, являющиеся точными четвертыми степенями.

Разложим число 243: $243 = 81 \times 3 = 3^4 \times 3$.

Разложим $b^9$. Представим степень 9 в виде $8 + 1$: $b^9 = b^8 \times b = (b^2)^4 \times b$.

Разложим $c^{18}$. Представим степень 18 в виде $16 + 2$: $c^{18} = c^{16} \times c^2 = (c^4)^4 \times c^2$.

Заметим, что корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $243b^9c^{18} \ge 0$. Поскольку $243>0$ и $c^{18} \ge 0$, это условие выполняется только при $b^9 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot 3) \cdot ((b^2)^4 \cdot b) \cdot ((c^4)^4 \cdot c^2)}$.

Сгруппируем множители с четвертой степенью:

$\sqrt[4]{3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4 \cdot 3bc^2}$.

Выносим множители из-под знака корня:

$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(b^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(c^4)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = 3 \cdot |b^2| \cdot |c^4| \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$.

Так как $b^2$ и $c^4$ всегда неотрицательны, то $|b^2| = b^2$ и $|c^4| = c^4$.

Окончательный результат:

$3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$.

Ответ: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$.