Номер 22.3, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.3, страница 215.

Условие.

22.3. Найдите:

1) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}$;

2) $\sqrt[3]{0.054} \cdot \sqrt[3]{4}$;

3) $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}}$;

4) $\frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^6 \cdot 7^4}}$;

5) $\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}$;

6) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$.

Решение.

1) Для нахождения произведения корней с одинаковым показателем степени используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Применим его к данному выражению:
$\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}$
Так как $2^4 = 16$, то корень четвертой степени из 16 равен 2.
$\sqrt[4]{16} = 2$
Ответ: 2

2) Аналогично первому пункту, используем свойство произведения корней одинаковой степени:
$\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} = \sqrt[3]{0,216}$
Так как $0,6^3 = 0,216$, то корень третьей степени из 0,216 равен 0,6.
$\sqrt[3]{0,216} = 0,6$
Ответ: 0,6

3) Для нахождения частного корней с одинаковым показателем степени используется свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Применим его к данной дроби:
$\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}}$
Сократим подкоренное выражение:
$\sqrt[5]{\frac{4}{128}} = \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Используем свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ и свойства степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^6 \cdot 7^4}} = \sqrt[8]{\frac{2^{30} \cdot 7^{12}}{2^6 \cdot 7^4}} = \sqrt[8]{2^{30-6} \cdot 7^{12-4}} = \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^8}$
Теперь используем свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^8} = \sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 2^{\frac{24}{8}} \cdot 7^{\frac{8}{8}} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$
Ответ: 56

5) Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} - 10)} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2}$
Вычислим подкоренное выражение:
$\sqrt[3]{6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 100} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 - 100} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8}$
Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

6) Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня:
$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9} = (\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}) \cdot (\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{-9})$
Вычислим произведение в каждой скобке, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
Первая скобка: $\sqrt[4]{3 \cdot 27} = \sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
Вторая скобка: $\sqrt[3]{3 \cdot (-9)} = \sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$3 \cdot (-3) = -9$
Ответ: -9