Вопросы?, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - страница 215.

Условие.

Перечислите свойства корня $n$-й степени.

Решение.

Корень $n$-й степени (или радикал) — это математическая операция, обратная возведению в степень. Для корня $n$-й степени, где $n$ — натуральное число, $n \geq 2$, справедливы следующие свойства. В формулах ниже предполагается, что переменные $a$ и $b$ принимают такие значения, при которых выражения под корнями четной степени неотрицательны, а знаменатели дробей не равны нулю.

1. Корень из произведения

Корень $n$-й степени из произведения равен произведению корней $n$-й степени из сомножителей. Это свойство используется для вынесения множителя из-под знака корня.

Для $a \geq 0, b \geq 0$:

Ответ: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

2. Корень из частного

Корень $n$-й степени из частного (дроби) равен частному корней $n$-й степени из делимого (числителя) и делителя (знаменателя).

Для $a \geq 0, b > 0$:

Ответ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

3. Возведение корня в степень

Чтобы возвести корень в натуральную степень $k$, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменений.

Для $a \geq 0$ и натурального $k$:

Ответ: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$

4. Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить их показатели, а подкоренное выражение оставить прежним.

Для $a \geq 0$ и натуральных $n, k \geq 2$:

Ответ: $\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[kn]{a}$

5. Основное свойство корня

Значение корня не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Для $a \geq 0$ и натуральных $n, k \geq 2, m \in \mathbb{N}$:

Ответ: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

6. Тождество для корней четной и нечетной степени

Это важное тождество, которое зависит от четности показателя корня $n$.

Если $n$ — четное число ($n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$), то корень из $a$ в степени $n$ равен модулю $a$. Для любого действительного $a$:

$\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$

Если $n$ — нечетное число ($n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{N}$), то корень из $a$ в степени $n$ равен самому числу $a$. Для любого действительного $a$:

$\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$

Ответ: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ при четном $n$; $\sqrt[n]{a^n} = a$ при нечетном $n$.

7. Сравнение корней

Из двух неотрицательных чисел большим является то, корень $n$-й степени из которого больше. И наоборот, чем больше неотрицательное число, тем больше корень $n$-й степени из него.

Для любых $a \geq 0, b \geq 0$ и натурального $n \geq 2$ утверждение $a < b$ равносильно утверждению $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$.

Ответ: если $a < b$, то $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ (при $a, b \geq 0$).