Номер 21.27, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.27, страница 210.

Условие.

21.27. Найдите объединение множеств A и B, если $A = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbb{Z}\}$,

$B = \{x \mid x = 4n + 2, n \in \mathbb{Z}\}$.

Решение.

По условию даны два множества:
$A = \{x | x = 4n, n \in \mathbb{Z}\}$ — множество всех целых чисел, кратных 4.
$B = \{x | x = 4n + 2, n \in \mathbb{Z}\}$ — множество всех целых чисел, которые при делении на 4 дают остаток 2.

Требуется найти объединение этих множеств, $A \cup B$, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств.

Проанализируем элементы множеств.
Элементы множества $A$ имеют вид $x = 4n = 2(2n)$. Так как $2n$ является целым числом, все элементы множества $A$ — четные числа.
Элементы множества $B$ имеют вид $x = 4n + 2 = 2(2n + 1)$. Так как $2n + 1$ является целым числом, все элементы множества $B$ — также четные числа.
Следовательно, объединение $A \cup B$ состоит только из четных чисел.

Теперь покажем, что любое четное число принадлежит этому объединению.
Пусть $k$ — произвольное четное число. Это означает, что $k$ можно представить в виде $k = 2m$ для некоторого целого числа $m \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два возможных случая для числа $m$:

Случай 1: $m$ — четное число.
Тогда $m = 2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляя, получаем: $k = 2m = 2(2n) = 4n$. Это означает, что $k$ принадлежит множеству $A$.

Случай 2: $m$ — нечетное число.
Тогда $m = 2n + 1$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляя, получаем: $k = 2m = 2(2n + 1) = 4n + 2$. Это означает, что $k$ принадлежит множеству $B$.

Поскольку любое целое число $m$ является либо четным, либо нечетным, любое четное число $k$ принадлежит либо множеству $A$, либо множеству $B$. Следовательно, объединение $A \cup B$ содержит все четные числа и только их.

Таким образом, искомое объединение — это множество всех четных чисел.
Ответ: $A \cup B = \{x | x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}$.