Номер 22.4, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.4, страница 215.

Условие.

22.4. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5};$

2) $\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}};$

3) $\sqrt[7]{2^{15} \cdot 5^3} \cdot \sqrt[7]{2^6 \cdot 5^4};$

4) $\sqrt[3]{9 - \sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{9 + \sqrt{17}};$

5) $\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10};$

6) $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{80}?$

Решение.

1) Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125}$.
Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

2) Для вычисления частного корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} = \sqrt[4]{16}$.
Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2

3) Сначала используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[7]{2^{15} \cdot 5^3} \cdot \sqrt[7]{2^6 \cdot 5^4} = \sqrt[7]{(2^{15} \cdot 5^3) \cdot (2^6 \cdot 5^4)}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[7]{(2^{15} \cdot 2^6) \cdot (5^3 \cdot 5^4)} = \sqrt[7]{2^{15+6} \cdot 5^{3+4}} = \sqrt[7]{2^{21} \cdot 5^7}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[7]{2^{21}} \cdot \sqrt[7]{5^7} = 2^{\frac{21}{7}} \cdot 5^{\frac{7}{7}} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$.
Ответ: 40

4) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[3]{9 - \sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} = \sqrt[3]{(9 - \sqrt{17})(9 + \sqrt{17})}$.
Выражение под корнем является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(9 - \sqrt{17})(9 + \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$.
Получаем: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3=64$.
Ответ: 4

5) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10} = \sqrt[5]{(2\sqrt{17} + 10)(2\sqrt{17} - 10)}$.
Выражение под корнем является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(2\sqrt{17} + 10)(2\sqrt{17} - 10) = (2\sqrt{17})^2 - 10^2 = (4 \cdot 17) - 100 = 68 - 100 = -32$.
Получаем: $\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5 = -32$.
Ответ: -2

6) Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня.
$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{80} = (\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{80}) \cdot (\sqrt{18} \cdot \sqrt{2})$.
Вычислим значение каждой группы.
Первая группа: $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{125 \cdot 80}$. Разложим числа на множители: $125 = 5^3$ и $80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
$\sqrt[4]{5^3 \cdot (2^4 \cdot 5)} = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5^1 \cdot 2^4} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2^4} = \sqrt[4]{(5 \cdot 2)^4} = \sqrt[4]{10^4} = 10$.
Вторая группа: $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$.
Перемножим результаты: $10 \cdot 6 = 60$.
Ответ: 60