Номер 22.7, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.7, страница 215.

Условие.

22.7. Представьте выражение $\sqrt{a}$ в виде корня:

1) четвёртой степени;

2) шестой степени;

3) десятой степени;

4) восемнадцатой степени.

Решение.

Для преобразования корня в корень другой степени используется основное свойство арифметического корня: при умножении показателя корня и показателя степени подкоренного выражения на одно и то же натуральное число значение корня не изменится. В виде формулы это выглядит так: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$ (при условии, что $a \ge 0$, а $n, m, k$ — натуральные числа).

Исходное выражение $\sqrt{a}$ является корнем второй степени, то есть $\sqrt[2]{a^1}$.

1) четвёртой степени

Чтобы получить корень четвёртой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) умножить на 2. Чтобы значение выражения не изменилось, показатель степени подкоренного выражения (1) также нужно умножить на 2.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$.

2) шестой степени

Чтобы получить корень шестой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) умножить на 3. Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 3.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$.

3) десятой степени

Чтобы получить корень десятой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) умножить на 5. Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 5.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 5]{a^{1 \cdot 5}} = \sqrt[10]{a^5}$.

Ответ: $\sqrt[10]{a^5}$.

4) восемнадцатой степени

Чтобы получить корень восемнадцатой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) умножить на 9. Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 9.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 9]{a^{1 \cdot 9}} = \sqrt[18]{a^9}$.

Ответ: $\sqrt[18]{a^9}$.