Номер 22.1, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.1, страница 215.

Условие.

22.1. Найдите:

1) $\sqrt[3]{64 \cdot 125};$

2) $\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5};$

3) $\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}};$

4) $\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}}.$

Решение.

1)

Для решения используем свойство корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{64 \cdot 125} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{125}$.
Теперь вычислим значение каждого корня отдельно. Так как $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$, получаем:
$\sqrt[3]{64} = 4$
$\sqrt[3]{125} = 5$
Остается перемножить полученные результаты:
$4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 20

2)

Применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5} = \sqrt[5]{2^{10}} \cdot \sqrt[5]{7^5}$.
Вычисляем каждый множитель:
$\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.
$\sqrt[5]{7^5} = 7^{\frac{5}{5}} = 7^1 = 7$.
Находим произведение:
$4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

3)

Используем те же свойства, что и в предыдущем примере.
$\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}} = \sqrt[6]{3^{18}} \cdot \sqrt[6]{10^{24}}$.
Вычисляем каждый множитель, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[6]{3^{18}} = 3^{\frac{18}{6}} = 3^3 = 27$.
$\sqrt[6]{10^{24}} = 10^{\frac{24}{6}} = 10^4 = 10000$.
Перемножаем результаты:
$27 \cdot 10000 = 270000$.
Ответ: 270000

4)

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, а также свойствами корня из произведения и степени.
$\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12} \cdot 11^4}}{\sqrt[4]{5^8 \cdot 2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12}} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{2^{16}}}$.
Теперь вычислим значение для каждого корня, применяя правило $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\frac{3^{\frac{12}{4}} \cdot 11^{\frac{4}{4}}}{5^{\frac{8}{4}} \cdot 2^{\frac{16}{4}}} = \frac{3^3 \cdot 11^1}{5^2 \cdot 2^4} = \frac{27 \cdot 11}{25 \cdot 16}$.
Выполним вычисления в числителе и знаменателе:
$\frac{297}{400}$.
Ответ: $\frac{297}{400}$