Номер 21.23, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.23, страница 210.

Условие.

21.23. Докажите, что является иррациональным числом:

1) $\sqrt[3]{7}$

2) $\sqrt[4]{12}$

Решение.

1) Докажем, что число $\sqrt[3]{7}$ является иррациональным.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt[3]{7}$ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Итак, пусть $\sqrt[3]{7} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части равенства в третью степень:
$(\sqrt[3]{7})^3 = (\frac{p}{q})^3$
$7 = \frac{p^3}{q^3}$

Отсюда следует, что $p^3 = 7q^3$.

Из этого равенства видно, что $p^3$ делится на 7. Поскольку 7 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 7. Значит, $p$ можно представить в виде $p = 7k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение для $p$ в равенство $p^3 = 7q^3$:
$(7k)^3 = 7q^3$
$343k^3 = 7q^3$

Разделим обе части на 7:
$49k^3 = q^3$
или $q^3 = 7 \cdot (7k^3)$.

Из последнего равенства следует, что $q^3$ делится на 7. А так как 7 — простое число, то и $q$ должно делиться на 7.

Таким образом, мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 7. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ можно сократить на 7, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (НОД$(p, q) = 1$).

Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt[3]{7}$ является рациональным числом, неверно.
Ответ: Доказано, что число $\sqrt[3]{7}$ является иррациональным.

2) Докажем, что число $\sqrt[4]{12}$ является иррациональным.

Снова воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt[4]{12}$ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Итак, пусть $\sqrt[4]{12} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части равенства в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{12})^4 = (\frac{p}{q})^4$
$12 = \frac{p^4}{q^4}$

Отсюда следует, что $p^4 = 12q^4$.

Из этого равенства видно, что $p^4$ делится на 12, а значит, делится и на простой множитель 3 (поскольку $12 = 3 \cdot 4$). Так как 3 — простое число, то если $p^4$ делится на 3, то и само число $p$ должно делиться на 3. Значит, $p$ можно представить в виде $p = 3k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение для $p$ в равенство $p^4 = 12q^4$:
$(3k)^4 = 12q^4$
$81k^4 = 12q^4$

Разделим обе части на 3:
$27k^4 = 4q^4$

Из последнего равенства следует, что левая часть ($27k^4$) делится на 3. Следовательно, и правая часть ($4q^4$) должна делиться на 3. Поскольку 4 не делится на 3, то $q^4$ должно делиться на 3. А так как 3 — простое число, то и $q$ должно делиться на 3.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (НОД$(p, q) = 1$).

Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt[4]{12}$ является рациональным числом, неверно.
Ответ: Доказано, что число $\sqrt[4]{12}$ является иррациональным.