Номер 21.26, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.26, страница 210.

Условие.

21.26. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt[3]{x} = a - x$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

Для определения количества корней уравнения $\sqrt[3]{x} = a - x$ в зависимости от параметра $a$, преобразуем его и используем графический или аналитический метод.

Перенесем $x$ в левую часть уравнения:

$x + \sqrt[3]{x} = a$

Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x + \sqrt[3]{x}$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = x + \sqrt[3]{x}$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (x + x^{1/3})' = 1 + \frac{1}{3}x^{-2/3} = 1 + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Проанализируем знак производной. Выражение $\sqrt[3]{x^2}$ определено для всех $x$, кроме $x=0$, и всегда неотрицательно ($\sqrt[3]{x^2} \ge 0$).

При $x \neq 0$, $\sqrt[3]{x^2} > 0$, следовательно, $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$.

Таким образом, производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 1$ для всех $x \neq 0$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна (за исключением точки $x=0$, где она не определена, но сама функция $f(x)$ непрерывна), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем область значений функции $f(x)$.

$\lim_{x\to+\infty} (x + \sqrt[3]{x}) = +\infty$

$\lim_{x\to-\infty} (x + \sqrt[3]{x}) = -\infty$

Так как функция $f(x)$ непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси, а ее область значений — все действительные числа (от $-\infty$ до $+\infty$), то для любого действительного значения параметра $a$ прямая $y=a$ пересечет график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке.

Следовательно, уравнение $x + \sqrt[3]{x} = a$ всегда имеет ровно один корень при любом значении параметра $a$.

Ответ: при любом значении параметра $a$ уравнение имеет один корень.