Номер 21.22, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.22, страница 210.

Условие.

21.22. Докажите, что является иррациональным числом:

1) $\sqrt[3]{2}$;

2) $\sqrt[6]{6}$.

Решение.

1) Докажем, что число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt[3]{2}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Запишем равенство: $\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{p}{q})^3$

$2 = \frac{p^3}{q^3}$

Отсюда следует, что $p^3 = 2q^3$.

Из этого равенства видно, что $p^3$ — четное число (так как оно делится на 2). Если куб целого числа является четным, то и само число является четным. (Действительно, если бы $p$ было нечетным, то $p = 2k+1$, и $p^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$, что является нечетным числом). Следовательно, $p$ — четное число.

Представим $p$ в виде $p = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в уравнение $p^3 = 2q^3$:

$(2k)^3 = 2q^3$

$8k^3 = 2q^3$

Разделим обе части на 2:

$q^3 = 4k^3$

Из этого равенства следует, что $q^3$ — четное число (так как оно равно $2 \cdot (2k^3)$ и делится на 2). Аналогично предыдущему рассуждению, если $q^3$ — четное число, то и само число $q$ должно быть четным.

Таким образом, мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель равен как минимум 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (т.е. НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что $\sqrt[3]{2}$ является рациональным числом, неверно. Следовательно, число $\sqrt[3]{2}$ иррационально.

Ответ: Доказано, что $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным числом.

2) Докажем, что число $\sqrt[6]{6}$ является иррациональным.

Снова используем метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt[6]{6}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$, и НОД$(p, q) = 1$.

Запишем равенство: $\sqrt[6]{6} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{6})^6 = (\frac{p}{q})^6$

$6 = \frac{p^6}{q^6}$

Отсюда следует, что $p^6 = 6q^6$.

Из этого равенства видно, что $p^6$ делится на 6. Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, то $p^6$ делится на простые числа 2 и 3. Если степень целого числа делится на простое число, то и само число делится на это простое число. Следовательно, $p$ делится и на 2, и на 3. А раз $p$ делится на 2 и 3, то оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Представим $p$ в виде $p = 6k$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в уравнение $p^6 = 6q^6$:

$(6k)^6 = 6q^6$

$6^6 k^6 = 6q^6$

Разделим обе части на 6:

$q^6 = 6^5 k^6$

Из этого равенства следует, что $q^6$ делится на $6^5$. Это означает, что $q^6$ делится на простые числа 2 и 3. Следовательно, само число $q$ также должно делиться на 2 и на 3. Значит, $q$ делится на 6.

Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 6. Это означает, что у них есть общий делитель 6. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (т.е. НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, число $\sqrt[6]{6}$ является иррациональным.

Ответ: Доказано, что $\sqrt[6]{6}$ является иррациональным числом.