Номер 21.15, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.15, страница 209.

Условие.

21.15. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[6]{\frac{|x|-4}{x^2-36}}$

2) $\sqrt[10]{|x|-3} - \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$

Решение.

1) Область определения выражения $\sqrt[6]{\frac{|x|-4}{x^2-36}}$ находится из следующих условий:

Выражение под корнем четной степени (6) должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{|x|-4}{x^2-36} \ge 0 \\ x^2 - 36 \neq 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $|x| - 4 = 0 \Rightarrow |x| = 4 \Rightarrow x_1 = -4, x_2 = 4$. Эти точки будут входить в решение, так как неравенство нестрогое.

Нули знаменателя: $x^2 - 36 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x_3 = -6, x_4 = 6$. Эти точки не будут входить в решение (выколотые точки), так как на ноль делить нельзя.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:

- При $x \in (-\infty; -6)$: возьмем $x = -7 \Rightarrow \frac{|-7|-4}{(-7)^2-36} = \frac{7-4}{49-36} = \frac{3}{13} > 0$. Интервал подходит.

- При $x \in (-6; -4]$: возьмем $x = -5 \Rightarrow \frac{|-5|-4}{(-5)^2-36} = \frac{5-4}{25-36} = \frac{1}{-11} < 0$. Интервал не подходит.

- При $x \in [-4; 4]$: возьмем $x = 0 \Rightarrow \frac{|0|-4}{0^2-36} = \frac{-4}{-36} = \frac{1}{9} > 0$. Интервал подходит.

- При $x \in [4; 6)$: возьмем $x = 5 \Rightarrow \frac{|5|-4}{5^2-36} = \frac{5-4}{25-36} = \frac{1}{-11} < 0$. Интервал не подходит.

- При $x \in (6; +\infty)$: возьмем $x = 7 \Rightarrow \frac{|7|-4}{7^2-36} = \frac{7-4}{49-36} = \frac{3}{13} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup [-4; 4] \cup (6; +\infty)$. Это и есть область определения выражения.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup [-4; 4] \cup (6; +\infty)$.

2) Найдем область определения для каждого слагаемого в выражении $\sqrt[10]{|x|-3} - \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$ и затем найдем их пересечение.

Для первого слагаемого $\sqrt[10]{|x|-3}$ подкоренное выражение корня четной степени (10) должно быть неотрицательным:

$|x| - 3 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 3$

Это неравенство равносильно совокупности:

$$ \begin{bmatrix} x \ge 3 \\ x \le -3 \end{bmatrix} $$

Таким образом, область определения первого слагаемого: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$ подкоренное выражение корня четной степени (4) находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным:

$x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$

Таким образом, область определения второго слагаемого: $(-4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение областей определения обоих слагаемых, то есть решим систему:

$$ \begin{cases} x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty) \\ x > -4 \end{cases} $$

Пересечение множества $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$ с интервалом $(-4; +\infty)$ дает нам множество $(-4; -3] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-4; -3] \cup [3; +\infty)$.