Номер 21.10, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.10, страница 209.

Условие.

21.10. Решите уравнение:

1) $x^9 = 1;$

2) $x^{10} = 1;$

3) $x^{18} = 0;$

4) $x^6 = -64;$

5) $64x^5 + 2 = 0;$

6) $(x-3)^6 = 729.$

Решение.

1) $x^9 = 1$

Поскольку показатель степени $9$ является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[9]{1}$

$x = 1$

Ответ: 1.

2) $x^{10} = 1$

Поскольку показатель степени $10$ является четным числом, а правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[10]{1}$

$x = 1$ или $x = -1$

Ответ: -1; 1.

3) $x^{18} = 0$

Единственное число, которое при возведении в натуральную степень дает в результате ноль, — это само число ноль.

$x = \sqrt[18]{0}$

$x = 0$

Ответ: 0.

4) $x^6 = -64$

Показатель степени $6$ — четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть $x^6 \ge 0$.

Так как правая часть уравнения отрицательна ($-64 < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

5) $64x^5 + 2 = 0$

Сначала преобразуем уравнение:

$64x^5 = -2$

$x^5 = -\frac{2}{64}$

$x^5 = -\frac{1}{32}$

Поскольку показатель степени $5$ — нечетное число, уравнение имеет один действительный корень.

$x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: -0,5.

6) $(x - 3)^6 = 729$

Поскольку показатель степени $6$ — четное число, а правая часть уравнения положительна, то выражение в скобках может быть равно как положительному, так и отрицательному корню из $729$.

$x - 3 = \sqrt[6]{729}$ или $x - 3 = -\sqrt[6]{729}$

Так как $3^6 = 729$, то $\sqrt[6]{729} = 3$.

Рассмотрим оба случая:

1) $x - 3 = 3$

$x = 3 + 3$

$x = 6$

2) $x - 3 = -3$

$x = -3 + 3$

$x = 0$

Ответ: 0; 6.