Номер 21.11, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.11, страница 209.

Условие.

21.11. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = \frac{4}{5}$;

2) $\sqrt[4]{x} = 3$;

3) $\sqrt[3]{x} = -6$;

4) $\sqrt[6]{x} = -2$;

5) $\sqrt[3]{2x + 7} = 0$;

6) $\sqrt[3]{2x + 7} = 0$.

Решение.

1)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = \frac{4}{5}$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в третью степень. Это преобразование является равносильным, так как корень нечетной степени определен для любых действительных чисел.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{4}{5})^3$

$x = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$

Ответ: $\frac{64}{125}$.

2)

Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 3$.

По определению, арифметический корень четной степени является неотрицательным числом, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном уравнении правая часть ($3$) положительна, поэтому решение может существовать при условии $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 3^4$

$x = 81$

Поскольку $81 \ge 0$, это значение является корнем уравнения.

Ответ: $81$.

3)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -6$.

Корень нечетной степени может принимать отрицательные значения. Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-6)^3$

$x = -216$

Ответ: $-216$.

4)

Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = -2$.

Арифметический корень четной степени (в данном случае шестой) по определению не может быть отрицательным числом. Значение $\sqrt[6]{x}$ всегда больше или равно нулю ($\sqrt[6]{x} \ge 0$) для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$).

Поскольку правая часть уравнения равна $-2$, что является отрицательным числом, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: корней нет.

5)

Дано уравнение $\sqrt[3]{2x} + 7 = 0$.

Сначала изолируем радикал, перенеся 7 в правую часть уравнения:

$\sqrt[3]{2x} = -7$

Далее, возведем обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{2x})^3 = (-7)^3$

$2x = -343$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = -\frac{343}{2} = -171,5$

Ответ: $-171,5$.

6)

Дано уравнение $\sqrt[3]{2x+7} = 0$.

Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt[3]{2x+7})^3 = 0^3$

$2x+7 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = -7$

$x = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: $-3,5$.