Номер 21.9, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.9, страница 209.

Условие.

21.9. Решите уравнение:

1) $x^5 = 9$; 3) $x^6 = 5$; 5) $27x^3 - 1 = 0$;

2) $x^7 = -2$; 4) $x^4 = -81$; 6) $(x+5)^4 = 10000$.

Решение.

1) $x^5 = 9$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ — нечетное число. Такое уравнение всегда имеет один действительный корень, который равен $x = \sqrt[n]{a}$.

В данном случае $n=5$ и $a=9$.

Следовательно, $x = \sqrt[5]{9}$.

Ответ: $\sqrt[5]{9}$.

2) $x^7 = -2$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ — нечетное число. Корень нечетной степени можно извлекать из отрицательного числа.

Решение: $x = \sqrt[7]{-2}$.

Это значение можно также записать как $x = -\sqrt[7]{2}$.

Ответ: $\sqrt[7]{-2}$.

3) $x^6 = 5$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ — четное число, а $a > 0$. Такое уравнение имеет два действительных корня: $x = \sqrt[n]{a}$ и $x = -\sqrt[n]{a}$.

В данном случае $n=6$ и $a=5$.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[6]{5}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt[6]{5}$.

4) $x^4 = -81$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ — четное число, а $a < 0$.

Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Поскольку правая часть уравнения отрицательна ($-81$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

5) $27x^3 - 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $x^3$.

$27x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{27}$

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) $(x + 5)^4 = 10 000$

Это уравнение вида $y^n = a$, где $y = (x+5)$, $n=4$ (четное), а $a = 10 000 > 0$.

Уравнение имеет два решения для выражения $(x+5)$.

$(x+5) = \sqrt[4]{10 000}$ или $(x+5) = -\sqrt[4]{10 000}$

Так как $10 000 = 10^4$, то $\sqrt[4]{10 000} = 10$.

Получаем два случая:

1. $x + 5 = 10$

$x = 10 - 5$

$x_1 = 5$

2. $x + 5 = -10$

$x = -10 - 5$

$x_2 = -15$

Ответ: $-15; 5$.