Номер 21.6, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.6, страница 209.

Условие.

21.6. Вычислите:

1) $200\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032} - (-4\sqrt{2})^2;$

2) $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt{17^7}.$

Решение.

1) Вычислим значение выражения $200\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032} - (-4\sqrt{2})^2$ по частям.

Первый член: $200\sqrt[3]{0,001}$.
Так как $0,1^3 = 0,001$, то $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$.
$200 \cdot \sqrt[3]{0,001} = 200 \cdot 0,1 = 20$.

Второй член: $\sqrt[5]{-0,00032}$.
Так как $(-0,2)^5 = -0,00032$, то $\sqrt[5]{-0,00032} = -0,2$.

Третий член: $(-4\sqrt{2})^2$.
$(-4\sqrt{2})^2 = (-4)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$20 - (-0,2) - 32 = 20 + 0,2 - 32 = 20,2 - 32 = -11,8$.

Ответ: -11,8

2) Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}$ по частям.

Первый множитель: $\sqrt[3]{8000}$.
Так как $20^3 = 8000$, то $\sqrt[3]{8000} = 20$.

Второй множитель: $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567 + 58}{81} = \frac{625}{81}$.
Так как $625 = 5^4$ и $81 = 3^4$, то $\frac{625}{81} = (\frac{5}{3})^4$.
$\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} = \sqrt[4]{(\frac{5}{3})^4} = \frac{5}{3}$.

Третий член: $(-\sqrt[5]{8})^5$.
Используя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем: $(-\sqrt[5]{8})^5 = (-1)^5 \cdot (\sqrt[5]{8})^5 = -1 \cdot 8 = -8$.

Четвертый член: $\sqrt[7]{17^7}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем: $\sqrt[7]{17^7} = 17$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$20 \cdot \frac{5}{3} - (-8) + 17 = \frac{100}{3} + 8 + 17 = \frac{100}{3} + 25 = \frac{100}{3} + \frac{25 \cdot 3}{3} = \frac{100+75}{3} = \frac{175}{3}$.

Ответ: $\frac{175}{3}$