Вопросы?, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - страница 208.

Условие.

1. Что называют корнем $n$-й степени из числа?

2. Что называют арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа?

3. Какая функция является обратной к функции $y = x^3$?

Решение.

1. Что называют корнем n-й степени из числа?

Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называют такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$.

Это определение можно записать в виде формулы: $\sqrt[n]{a} = b$, если $b^n = a$.

Например, корень третьей степени из числа $8$ — это $2$, так как $2^3 = 8$. Корнями четвёртой степени из числа $16$ являются числа $2$ и $-2$, так как $2^4=16$ и $(-2)^4=16$. Существование и количество действительных корней зависит от чётности показателя корня $n$ и знака подкоренного числа $a$:

• Если $n$ — нечётное число, то для любого действительного числа $a$ существует единственный действительный корень $\sqrt[n]{a}$.
• Если $n$ — чётное число, то:
  • при $a > 0$ существует два действительных корня, которые являются противоположными числами: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$;
  • при $a = 0$ существует один корень, равный нулю;
  • при $a < 0$ действительных корней не существует.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $a$ называют такое число, $n$-я степень которого равна $a$.

2. Что называют арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа?

Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называют неотрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$.

Таким образом, запись $\sqrt[n]{a} = b$ означает, что одновременно выполняются два условия:

1. $b^n = a$
2. $b \ge 0$

Из этих условий следует, что подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$). Основное отличие от общего понятия корня заключается в том, что результат извлечения арифметического корня всегда является неотрицательным числом, что обеспечивает единственность результата. Например, арифметический квадратный корень из $9$, обозначаемый как $\sqrt{9}$, равен $3$, и только $3$ (хотя $(-3)^2$ тоже равно $9$).

Ответ: Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

3. Какая функция является обратной к функции y = x³?

Чтобы найти функцию, обратную к функции $y = x^3$, нужно выполнить следующие действия:

1. Поменять местами переменные $x$ и $y$ в исходном уравнении. Вместо $y = x^3$ получим $x = y^3$.
2. Выразить $y$ из нового уравнения. Для этого нужно извлечь кубический корень из обеих частей равенства: $\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{y^3}$.
3. В результате получаем $y = \sqrt[3]{x}$.

Исходная функция $y = x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому для нее существует обратная функция. Областью определения и областью значений как для прямой функции ($y=x^3$), так и для обратной ($y=\sqrt[3]{x}$), является множество всех действительных чисел ($D(f)=E(f)=(-\infty; +\infty)$).

Ответ: $y = \sqrt[3]{x}$.