Номер 20.15, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.15, страница 204.

Условие.

20.15. Используя диаграммы Эйлера, проиллюстрируйте свойства операций над множествами:

1) $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$;

2) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.

Решение.

1) $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Данное свойство называется ассоциативностью (сочетательностью) операции пересечения множеств. Для его иллюстрации воспользуемся диаграммами Эйлера. Будем изображать множества A, B и C в виде трех пересекающихся кругов.

Левая часть: $(A \cap B) \cap C$

Сначала найдем пересечение множеств A и B, то есть $A \cap B$. На диаграмме это общая область кругов A и B. Заштрихуем ее.

Рис. 1. Множество $A \cap B$

Теперь найдем пересечение полученного множества $A \cap B$ с множеством C. Это та часть заштрихованной на Рис. 1 области, которая также принадлежит множеству C. В результате мы получим область, принадлежащую всем трем множествам одновременно.

Рис. 2. Множество $(A \cap B) \cap C$

Правая часть: $A \cap (B \cap C)$

Сначала найдем пересечение множеств B и C, то есть $B \cap C$. Заштрихуем эту область.

Рис. 3. Множество $B \cap C$

Теперь найдем пересечение множества A с полученным множеством $B \cap C$. Это та часть заштрихованной на Рис. 3 области, которая также принадлежит множеству A. В результате мы снова получим область, общую для всех трех множеств.

Рис. 4. Множество $A \cap (B \cap C)$

Вывод

Сравнивая итоговые диаграммы для левой и правой частей равенства (Рис. 2 и Рис. 4), мы видим, что они идентичны. Заштрихованная область в обоих случаях — это пересечение всех трех множеств A, B и C. Таким образом, свойство ассоциативности пересечения множеств проиллюстрировано.

Ответ: Диаграммы Эйлера наглядно демонстрируют, что результат операции пересечения трех множеств не зависит от порядка расстановки скобок, то есть $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$.

---

2) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Данное свойство называется дистрибутивностью (распределительностью) операции объединения относительно операции пересечения.

Левая часть: $A \cup (B \cap C)$

Чтобы изобразить это множество, сначала найдем пересечение множеств B и C ($B \cap C$), а затем объединим полученную область с множеством A. Это означает, что мы заштрихуем все множество A и, в дополнение к нему, общую часть множеств B и C.

Рис. 5. Множество $A \cup (B \cap C)$

Правая часть: $(A \cup B) \cap (A \cup C)$

Здесь нам нужно найти пересечение двух множеств: $(A \cup B)$ и $(A \cup C)$. Для этого сначала изобразим каждое из них по отдельности.

Множество $A \cup B$ — это вся область, занимаемая множествами A и B вместе.

Рис. 6. Множество $A \cup B$

Множество $A \cup C$ — это вся область, занимаемая множествами A и C вместе.

Рис. 7. Множество $A \cup C$

Итоговый результат — это пересечение двух полученных областей, то есть та часть диаграммы, которая заштрихована на обеих диаграммах (Рис. 6 и Рис. 7). Легко видеть, что эта общая область и есть все множество A плюс пересечение B и C.

Рис. 8. Множество $(A \cup B) \cap (A \cup C)$

Вывод

Сравнивая итоговые диаграммы для левой (Рис. 5) и правой (Рис. 8) частей равенства, мы видим, что заштрихованные области совпадают. Это иллюстрирует справедливость дистрибутивного закона.

Ответ: Диаграммы Эйлера показывают, что области, соответствующие выражениям $A \cup (B \cap C)$ и $(A \cup B) \cap (A \cup C)$, совпадают, что является наглядной иллюстрацией дистрибутивного свойства объединения относительно пересечения.