Номер 21.1, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.1, страница 208.

Условие.

21.1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{216};$

2) $\sqrt[4]{0,0016};$

3) $\sqrt[5]{-0,00001};$

4) $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}};$

5) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}};$

6) $\frac{1}{3}\sqrt[5]{-243};$

7) $\sqrt[4]{9^2};$

8) $\sqrt[6]{8^2}.$

Решение.

1) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{216}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст 216. Таким числом является 6, так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.
Ответ: 6

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{0,0016}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0016 = \frac{16}{10000}$.
Теперь найдем корень четвертой степени из этой дроби: $\sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Поскольку $2^4 = 16$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{16}=2$ и $\sqrt[4]{10000}=10$.
Следовательно, $\frac{2}{10} = 0,2$.
Ответ: 0,2

3) Для вычисления $\sqrt[5]{-0,00001}$ воспользуемся свойством корня нечетной степени: $\sqrt[2n+1]{-a} = -\sqrt[2n+1]{a}$.
$\sqrt[5]{-0,00001} = -\sqrt[5]{0,00001}$.
Представим $0,00001$ как $(0,1)^5$.
Таким образом, $-\sqrt[5]{(0,1)^5} = -0,1$.
Ответ: -0,1

4) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$.
Теперь извлечем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$.
Найдем корни: $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
Результат: $\frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

5) Для вычисления $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$ используем свойство корня нечетной степени: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $\sqrt[3]{1}=1$ и $\sqrt[3]{8}=2$ (потому что $2^3=8$), получаем $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) В выражении $\frac{1}{3}\sqrt[5]{-243}$ сначала найдем значение корня.
Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[5]{-243} = -\sqrt[5]{243}$.
Найдем число, которое в пятой степени равно 243. Это число 3, так как $3^5 = 243$.
Значит, $\sqrt[5]{-243} = -3$.
Теперь умножим результат на коэффициент: $\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$.
Ответ: -1

7) Для нахождения значения $\sqrt[4]{9^2}$ можно использовать свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[4]{9^2} = 9^{\frac{2}{4}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
Другой способ: сначала возвести в степень, а потом извлечь корень.
$9^2 = 81$. Тогда $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
Ответ: 3

8) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[6]{8^2}$, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[6]{8^2} = 8^{\frac{2}{6}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$.
Так как $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8}=2$.
Альтернативный способ: $8^2 = 64$. Тогда $\sqrt[6]{64} = 2$, поскольку $2^6 = 64$.
Ответ: 2