Номер 20.11, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.11, страница 203.

Условие.

20.11. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 3x - 1;$

2) $y = x^2 - 4, \text{ если } x \ge 0;$

3) $y = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0, \\ \frac{1}{2}x, \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана функция $y = 3x - 1$. Это линейная функция, ее график — прямая. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ и область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$: $x = 3y - 1$.

Теперь выразим $y$ через $x$:
$3y = x + 1$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

Полученная функция $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ является обратной к исходной. Ее график также является прямой.

Построим графики обеих функций в одной системе координат.

График $y = 3x - 1$ строим по двум точкам, например, $(0; -1)$ и $(1; 2)$.

График обратной функции $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ строим по двум точкам, например, $(-1; 0)$ и $(2; 1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. Графики исходной и обратной функций — это две прямые, симметричные относительно прямой $y=x$.

---

2)

Дана функция $y = x^2 - 4$ при условии $x \ge 0$.

Область определения функции задана условием: $D(y) = [0; +\infty)$. На этом промежутке функция является возрастающей. Найдем область значений. Минимальное значение достигается при $x=0$: $y(0) = 0^2 - 4 = -4$. Таким образом, область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$: $x = y^2 - 4$.

Выразим $y$:
$y^2 = x + 4$
$y = \pm\sqrt{x + 4}$

Область определения исходной функции, $x \ge 0$, становится областью значений для обратной функции, то есть $y \ge 0$. Поэтому из двух знаков перед корнем мы выбираем «+».

Обратная функция: $y = \sqrt{x + 4}$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

Построим графики.

График функции $y = x^2 - 4$ при $x \ge 0$ – это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0; -4)$.

График обратной функции $y = \sqrt{x + 4}$ – это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в точке $(-4; 0)$.

Графики этих двух функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x + 4}$. График исходной функции — правая ветвь параболы $y=x^2-4$, график обратной — график функции $y=\sqrt{x+4}$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

---

3)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Эта функция определена и строго возрастает на всей числовой оси. Найдем обратную функцию для каждого участка отдельно.

Участок 1: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.
На этом участке область определения $[0; +\infty)$ и область значений $[0; +\infty)$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt{y}$.
Возводим в квадрат: $y = x^2$.
Область определения для этой части обратной функции является областью значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Участок 2: $y = \frac{1}{2}x$ при $x < 0$.
На этом участке область определения $(-\infty; 0)$ и область значений $(-\infty; 0)$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1}{2}y$.
Выражаем $y$: $y = 2x$.
Область определения для этой части обратной функции является областью значений исходной, то есть $x < 0$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Построим графики.

График исходной функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=\sqrt{x}$ в первой координатной четверти и луча прямой $y=\frac{1}{2}x$ в третьей четверти.

График обратной функции также состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ в первой координатной четверти и луча прямой $y=2x$ в третьей четверти.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.