Номер 20.14, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.14, страница 204.

Условие.

20.14. Какие множества равны:

$A = \{x \mid x = 5n - 1, n \in \mathbb{Z}\};$

$B = \{x \mid x = 10n + 9, n \in \mathbb{Z}\};$

$C = \{x \mid x = 5n + 4, n \in \mathbb{Z}\};$

$D = \{x \mid x = 10n - 1, n \in \mathbb{Z}\}?$

Решение.

Для того чтобы определить, какие из данных множеств равны, необходимо сравнить их элементы. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Данные множества:

$A = \{x \mid x = 5n - 1, n \in \mathbb{Z}\}$

$B = \{x \mid x = 10n + 9, n \in \mathbb{Z}\}$

$C = \{x \mid x = 5n + 4, n \in \mathbb{Z}\}$

$D = \{x \mid x = 10n - 1, n \in \mathbb{Z}\}$

Сравнение множеств A и C

Множество A состоит из чисел, которые при делении на 5 дают в остатке -1, что эквивалентно остатку 4. То есть, для любого элемента $x \in A$ выполняется сравнение $x \equiv -1 \pmod{5}$, или $x \equiv 4 \pmod{5}$.

Множество C состоит из чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 4. То есть, для любого элемента $x \in C$ выполняется сравнение $x \equiv 4 \pmod{5}$.

Поскольку условия, определяющие множества A и C, эквивалентны, множества должны быть равны. Докажем это формально.

1. Докажем, что $A \subseteq C$.
Пусть $x$ - произвольный элемент множества A. Тогда существует такое целое число $n$, что $x = 5n - 1$.
Преобразуем выражение: $x = 5n - 1 = 5n - 5 + 4 = 5(n - 1) + 4$.
Обозначим $k = n - 1$. Поскольку $n$ - целое число, $k$ также является целым числом.
Таким образом, $x$ можно представить в виде $x = 5k + 4$, что по определению означает, что $x$ принадлежит множеству C.
Следовательно, любой элемент множества A является элементом множества C, то есть $A \subseteq C$.

2. Докажем, что $C \subseteq A$.
Пусть $x$ - произвольный элемент множества C. Тогда существует такое целое число $m$, что $x = 5m + 4$.
Преобразуем выражение: $x = 5m + 4 = 5m + 5 - 1 = 5(m + 1) - 1$.
Обозначим $l = m + 1$. Поскольку $m$ - целое число, $l$ также является целым числом.
Таким образом, $x$ можно представить в виде $x = 5l - 1$, что по определению означает, что $x$ принадлежит множеству A.
Следовательно, любой элемент множества C является элементом множества A, то есть $C \subseteq A$.

Из того, что $A \subseteq C$ и $C \subseteq A$, следует, что $A = C$.

Сравнение множеств B и D

Множество B состоит из чисел, которые при делении на 10 дают в остатке 9. То есть, $x \equiv 9 \pmod{10}$.

Множество D состоит из чисел, которые при делении на 10 дают в остатке -1, что эквивалентно остатку 9. То есть, $x \equiv -1 \pmod{10}$, или $x \equiv 9 \pmod{10}$.

Поскольку условия, определяющие множества B и D, эквивалентны, множества равны. Докажем это формально.

1. Докажем, что $B \subseteq D$.
Пусть $x \in B$. Тогда $x = 10n + 9$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем: $x = 10n + 10 - 1 = 10(n + 1) - 1$.
Пусть $k = n + 1$. Так как $n \in \mathbb{Z}$, то и $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = 10k - 1$, что означает $x \in D$. Таким образом, $B \subseteq D$.

2. Докажем, что $D \subseteq B$.
Пусть $x \in D$. Тогда $x = 10m - 1$ для некоторого $m \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем: $x = 10m - 10 + 9 = 10(m - 1) + 9$.
Пусть $l = m - 1$. Так как $m \in \mathbb{Z}$, то и $l \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = 10l + 9$, что означает $x \in B$. Таким образом, $D \subseteq B$.

Из того, что $B \subseteq D$ и $D \subseteq B$, следует, что $B = D$.

Сравнение множеств A и B

Мы установили, что $A = C$ и $B = D$. Теперь сравним множество A с множеством B.

Проверим, является ли множество B подмножеством множества A.
Пусть $x \in B$. Тогда $x = 10n + 9$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем выражение: $x = 5(2n) + 9 = 5(2n) + 5 + 4 = 5(2n + 1) + 4$.
Пусть $k = 2n + 1$. Так как $n \in \mathbb{Z}$, то $k$ также является целым числом.
Таким образом, $x = 5k + 4$, что означает $x \in C$. Так как $A = C$, то $x \in A$.
Следовательно, $B \subseteq A$.

Теперь проверим, является ли множество A подмножеством множества B.
Возьмем элемент из множества A, например, при $n=1$, получаем $x = 5(1) - 1 = 4$.
Проверим, принадлежит ли $x=4$ множеству B. Для этого должно существовать такое целое число $m$, что $10m + 9 = 4$.
Решим уравнение: $10m = 4 - 9 = -5$.
$m = -5 / 10 = -0.5$.
Поскольку $m = -0.5$ не является целым числом, элемент $x=4$ не принадлежит множеству B.
Следовательно, A не является подмножеством B ($A \not\subseteq B$).

Поскольку $A \not\subseteq B$, множества A и B не равны. Из этого также следует, что $C \neq B$, $A \neq D$ и $C \neq D$.
Таким образом, единственными парами равных множеств являются A и C, а также B и D.

Ответ: $A = C$ и $B = D$.