Номер 21.3, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.3, страница 208.

Условие.

21.3. Вычислите:

1) $(\sqrt[3]{5})^3;$

2) $(-\sqrt[4]{7})^4;$

3) $(-\sqrt[7]{2})^7;$

4) $-\sqrt[4]{7^4};$

5) $(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48})^6;$

6) $\frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6}.$

Решение.

1) По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

В данном случае $n=3$ и $a=5$. Следовательно:

$(\sqrt[3]{5})^3 = 5$.

Ответ: $5$.

2) Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$. Так как степень четная (4), минус под знаком степени исчезает:

$(-\sqrt[4]{7})^4 = (-1 \cdot \sqrt[4]{7})^4 = (-1)^4 \cdot (\sqrt[4]{7})^4 = 1 \cdot (\sqrt[4]{7})^4$.

По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ (для $a \geq 0$ и четного $n$).

$(\sqrt[4]{7})^4 = 7$.

Ответ: $7$.

3) Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$. Так как степень нечетная (7), минус сохраняется:

$(-\sqrt[7]{2})^7 = (-1 \cdot \sqrt[7]{2})^7 = (-1)^7 \cdot (\sqrt[7]{2})^7 = -1 \cdot (\sqrt[7]{2})^7$.

По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

$-1 \cdot (\sqrt[7]{2})^7 = -1 \cdot 2 = -2$.

Ответ: $-2$.

4) Согласно свойству корня четной степени, $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ при четном $n$.

В данном случае $n=4$ и $a=7$.

$-\sqrt[4]{7^4} = -|7| = -7$.

Ответ: $-7$.

5) Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48})^6 = (\frac{1}{2})^6 \cdot (\sqrt[6]{48})^6$.

Вычислим каждую часть отдельно:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.

По определению корня, $(\sqrt[6]{48})^6 = 48$.

Теперь перемножим результаты и сократим дробь:

$\frac{1}{64} \cdot 48 = \frac{48}{64} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 16} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

6) Согласно свойству корня четной степени, $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ при четном $n$.

В данном случае $n=6$ и $a=48$.

$\frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6} = \frac{1}{2} \cdot |48| = \frac{1}{2} \cdot 48$.

$\frac{1}{2} \cdot 48 = 24$.

Ответ: $24$.