Номер 20.12, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.12, страница 203.

Условие.

20.12. Найдите функцию, обратную к данной:

$y = \begin{cases} \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 3, \\ 2x-5, & \text{если } x < 3. \end{cases}$

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы найти обратную ей функцию, необходимо найти обратную функцию для каждой из её частей, а также определить область определения для каждой части обратной функции.

Рассмотрим первую часть функции: $y = \sqrt{x-2}$ при условии $x \ge 3$.
Сначала найдем область значений этой части. Из условия $x \ge 3$ следует, что $x-2 \ge 1$, и, соответственно, $\sqrt{x-2} \ge \sqrt{1} = 1$. Таким образом, для этой части функции область значений $y \in [1, +\infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{x-2}$. Учитывая, что $y \ge 1$ (обе части уравнения неотрицательны), возведем обе части в квадрат: $y^2 = x-2$, откуда получаем $x = y^2+2$.
Для получения обратной функции меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = x^2+2$. Областью определения этой части обратной функции является найденная ранее область значений $[1, +\infty)$, то есть $x \ge 1$.

Рассмотрим вторую часть функции: $y = 2x-5$ при условии $x < 3$.
Найдем область значений этой части. Из условия $x < 3$ следует, что $2x < 6$, и $2x-5 < 1$. Таким образом, для этой части функции область значений $y \in (-\infty, 1)$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x-5$: $2x = y+5$, откуда $x = \frac{y+5}{2}$.
Меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = \frac{x+5}{2}$. Областью определения этой части обратной функции является область значений $(-\infty, 1)$, то есть $x < 1$.

Объединяя полученные результаты, получаем искомую обратную функцию, которая является кусочно-заданной.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2+2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x+5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$