Номер 20.10, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.10, страница 203.

Условие.

20.10. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -0,5x + 2;$

2) $y = \sqrt{x+1};$

3) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ 2x, \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Решение.

1) Дана функция $y = -0,5x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Область определения и область значений — все действительные числа.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$ и выразим $y$:

$x = -0,5y + 2$

$0,5y = 2 - x$

$y = \frac{2 - x}{0,5}$

$y = 2(2-x)$

$y = 4 - 2x$

Итак, обратная функция — $y = -2x + 4$. Это также линейная функция.

Построим графики обеих функций в одной системе координат. Для каждой прямой найдем две точки:

• Для $y = -0,5x + 2$:
  • Если $x=0$, то $y=2$. Точка $(0; 2)$.
  • Если $x=4$, то $y=0$. Точка $(4; 0)$.
• Для $y = -2x + 4$:
  • Если $x=0$, то $y=4$. Точка $(0; 4)$.
  • Если $x=2$, то $y=0$. Точка $(2; 0)$.

Также построим прямую $y=x$, относительно которой графики взаимно обратных функций симметричны. Проведем прямую $y = -0,5x + 2$ через точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$. Затем проведем прямую $y = -2x + 4$ через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Можно заметить, что эти две прямые симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y = -0,5x + 2$ — прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$. График обратной функции $y = -2x + 4$ — прямая, проходящая через точки $(2; 0)$ и $(0; 4)$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x+1}$.

Найдем область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Итак, $D(y) = [-1; +\infty)$.

Найдем область значений: поскольку корень арифметический, его значение всегда неотрицательно, $y \ge 0$. Итак, $E(y) = [0; +\infty)$.

График функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(-1; 0)$.

Найдем обратную функцию. Поменяем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt{y+1}$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \ge -1$.

Выразим $y$ из уравнения $x = \sqrt{y+1}$. Поскольку $x \ge 0$, можно возвести обе части в квадрат:

$x^2 = y+1$

$y = x^2 - 1$

Обратная функция: $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$. Её график — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0; -1)$.

Построим графики. Для $y = \sqrt{x+1}$ возьмем точки:

• $x=-1$, $y=0$ → $(-1; 0)$
• $x=0$, $y=1$ → $(0; 1)$
• $x=3$, $y=2$ → $(3; 2)$

Для $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$ возьмем точки:

• $x=0$, $y=-1$ → $(0; -1)$
• $x=1$, $y=0$ → $(1; 0)$
• $x=2$, $y=3$ → $(2; 3)$

Построим эти два графика и прямую $y=x$ в одной системе координат. Графики будут симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+1}$ — ветвь параболы, выходящая из точки $(-1; 0)$ и проходящая через $(0; 1)$ и $(3; 2)$. График обратной функции $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(0; -1)$, проходящая через $(1; 0)$ и $(2; 3)$.

3) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем область значений. Если $x \ge 0$, то $y=x \ge 0$. Если $x < 0$, то $y=2x < 0$. Объединяя, получаем $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

График состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. При $x \ge 0$ это луч $y=x$, а при $x < 0$ это луч $y=2x$.

Найдем обратную функцию для каждого участка.

Для $y = x$ при $x \ge 0$:
Область определения $x \in [0; +\infty)$, область значений $y \in [0; +\infty)$.
Меняем $x$ и $y$: $x=y$.
Обратная функция $y=x$. Её область определения — это область значений исходной, т.е. $x \ge 0$.

Для $y = 2x$ при $x < 0$:
Область определения $x \in (-\infty; 0)$, область значений $y \in (-\infty; 0)$.
Меняем $x$ и $y$: $x=2y$.
Отсюда $y = \frac{1}{2}x$. Её область определения — это область значений исходной, т.е. $x < 0$.

Собираем кусочную обратную функцию: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Построим графики.
График исходной функции $y = f(x)$ состоит из:

• луча $y=x$, начинающегося в $(0; 0)$ и проходящего через $(1; 1)$, $(2; 2)$;
• луча $y=2x$ для $x<0$, который проходит через $(-1; -2)$, $(-2; -4)$.

График обратной функции $y = g(x)$ состоит из:

• луча $y=x$, начинающегося в $(0; 0)$ (совпадает с частью исходного графика);
• луча $y=0,5x$ для $x<0$, который проходит через $(-2; -1)$, $(-4; -2)$.

Оба графика симметричны относительно прямой $y=x$. Участок $y=x$ при $x \ge 0$ симметричен сам себе.

Ответ: График исходной функции состоит из луча $y=x$ при $x \ge 0$ и луча $y=2x$ при $x < 0$. График обратной функции состоит из луча $y=x$ при $x \ge 0$ и луча $y = 0,5x$ при $x < 0$.