Номер 20.9, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.9, страница 203.

Условие.

20.9. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y=\frac{x+2}{x}$;

2) $y=\frac{1}{\sqrt{x}};$

3) $y=\sqrt{x^2-4}$, $D(y)=[2; +\infty).$

Решение.

1) Дана функция $y = \frac{x + 2}{x}$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.
Представим функцию в виде $y = 1 + \frac{2}{x}$.
Выразим $\frac{2}{x}$:
$y - 1 = \frac{2}{x}$
Теперь выразим $x$:
$x(y - 1) = 2$
$x = \frac{2}{y - 1}$
Для получения обратной функции поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{2}{x - 1}$.
Ответ: $y = \frac{2}{x - 1}$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Область определения исходной функции $D(y)$ — это все $x$, для которых выражение имеет смысл. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x > 0$. Область значений $E(y)$ для таких $x$ будет $y > 0$.
Выразим $x$ через $y$. Так как $y > 0$, можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$
$y^2 = \frac{1}{x}$
$x = \frac{1}{y^2}$
Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:
$y = \frac{1}{x^2}$.
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x > 0$.
Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, где $x > 0$.

3) Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4}$ с областью определения $D(y) = [2; +\infty)$.
Найдем область значений $E(y)$ данной функции. Поскольку $x \geq 2$, то $x^2 \geq 4$, и $x^2 - 4 \geq 0$. При $x = 2$, $y = \sqrt{2^2 - 4} = 0$. Так как функция возрастает на данном промежутке, ее область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$. Так как $y \geq 0$ (по определению арифметического квадратного корня), мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = x^2 - 4$
$x^2 = y^2 + 4$
$x = \pm\sqrt{y^2 + 4}$
Согласно исходной области определения, $x \in [2; +\infty)$, что означает $x \geq 2$. Поэтому мы выбираем положительный корень:
$x = \sqrt{y^2 + 4}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \sqrt{x^2 + 4}$.
Область определения обратной функции есть область значений исходной, то есть $x \geq 0$.
Ответ: $y = \sqrt{x^2 + 4}$, где $x \geq 0$.