Номер 20.2, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.2, страница 202.

Условие.

20.2. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 20.8, являются обратимыми?

а

б

в

г

Рис. 20.8

Решение.

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она является строго монотонной на всей своей области определения (то есть строго возрастает или строго убывает). Графически это свойство проверяется с помощью теста горизонтальной линии: любая горизонтальная прямая $y=c$ должна пересекать график функции не более чем в одной точке. Рассмотрим каждый случай.

а

График, изображенный на рисунке 'а', показывает функцию, которая является строго убывающей на всей своей области определения. Любая горизонтальная прямая, проведенная на этом графике, пересечет его ровно в одной точке. Следовательно, функция проходит тест горизонтальной линии и является обратимой.

Ответ: является обратимой.

б

На графике 'б' изображена кусочно-заданная функция. Можно заметить, что существуют горизонтальные прямые, которые пересекают график в нескольких точках. Например, горизонтальная прямая, проведенная немного выше оси абсцисс, пересечет и средний, и правый участки графика. Это означает, что разным значениям аргумента $x$ соответствует одно и то же значение функции $y$. Такая функция не является взаимно-однозначной, а значит, и не является обратимой.

Ответ: не является обратимой.

в

Функция, график которой показан на рисунке 'в', не является монотонной. Она убывает на левом луче, возрастает на среднем отрезке и снова убывает на правом луче. Горизонтальная прямая, проведенная на уровне немного выше нуля, пересечет график в двух точках. Следовательно, функция не является обратимой.

Ответ: не является обратимой.

г

График на рисунке 'г' имеет несколько экстремумов (два минимума и один локальный максимум), поэтому функция не является монотонной. Горизонтальная прямая, проведенная, например, через точку $(0,0)$, пересекает график в двух точках. Другая горизонтальная прямая, проведенная между локальным максимумом и минимумами, пересечет график в четырех точках. Таким образом, функция не проходит тест горизонтальной линии и не является обратимой.

Ответ: не является обратимой.