Номер 19.26, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.26, страница 197.

Условие.

19.26. Решите уравнение $11x^{15} + 2x^4 = -9$.

Решение.

Данное уравнение $11x^{15} + 2x^4 = -9$ можно переписать в виде $11x^{15} + 2x^4 + 9 = 0$.

Введем функцию $f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) = 0$.

Сначала попробуем найти целые корни уравнения. Проверим $x = -1$:

$f(-1) = 11(-1)^{15} + 2(-1)^4 + 9 = 11(-1) + 2(1) + 9 = -11 + 2 + 9 = 0$.

Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения. Докажем, что других корней нет. Для этого рассмотрим поведение функции $f(x)$ на разных промежутках.

1. Случай $x \ge 0$

Если $x = 0$, то $f(0) = 11(0)^{15} + 2(0)^4 + 9 = 9 \neq 0$.

Если $x > 0$, то $x^{15} > 0$ и $x^4 > 0$. Следовательно, оба слагаемых $11x^{15}$ и $2x^4$ будут положительными. Тогда $f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9 > 9 > 0$. Значит, при $x \ge 0$ уравнение не имеет корней.

2. Случай $x < -1$

Пусть $x < -1$. Это означает, что $|x| > 1$. Рассмотрим функцию $f(x)$. Можно заметить, что при $x < -1$ степень $x^{15}$ оказывает доминирующее влияние.

$f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9$.

Поскольку $x < -1$, $x$ отрицателен. $x^{15}$ будет отрицательным, а $x^4$ — положительным. Вынесем $x^4$ за скобки (так как $x \ne 0$): $f(x) = x^4(11x^{11} + 2) + 9$.

Так как $x < -1$, то $x^{11} < (-1)^{11} = -1$. Умножим на 11: $11x^{11} < -11$. Прибавим 2: $11x^{11} + 2 < -11 + 2 = -9$. Выражение в скобках $11x^{11} + 2$ является отрицательным и меньше, чем -9. Так как $x^4 > 0$, произведение $x^4(11x^{11} + 2)$ будет отрицательным. $x^4(11x^{11} + 2) < x^4(-9)$. Тогда $f(x) = x^4(11x^{11} + 2) + 9 < -9x^4 + 9 = 9(1 - x^4)$. Поскольку $x < -1$, то $x^2 > 1$ и $x^4 > 1$. Следовательно, $1 - x^4 < 0$. Таким образом, $f(x) < 9(1 - x^4) < 0$. Мы получили, что для всех $x < -1$ значение функции $f(x)$ строго отрицательно, а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

3. Случай $-1 < x < 0$

На этом промежутке $0 < |x| < 1$. Рассмотрим производную функции $f(x)$, чтобы определить ее монотонность.

$f'(x) = (11x^{15} + 2x^4 + 9)' = 165x^{14} + 8x^3 = x^3(165x^{11} + 8)$.

На промежутке $(-1, 0)$ $x^3$ всегда отрицательно. Рассмотрим знак выражения $165x^{11} + 8$. Так как $-1 < x < 0$, то $-1 < x^{11} < 0$. Умножим на 165: $-165 < 165x^{11} < 0$. Прибавим 8: $-157 < 165x^{11} + 8 < 8$. Знак выражения $165x^{11} + 8$ на этом промежутке может быть как положительным, так и отрицательным. Оно равно нулю при $x^{11} = -8/165$, то есть при $x_c = -\sqrt[11]{8/165}$. Поскольку $0 < 8/165 < 1$, то $0 < \sqrt[11]{8/165} < 1$, и значит $-1 < x_c < 0$.

Таким образом, на промежутке $(-1, x_c)$ функция $f(x)$ возрастает, а на промежутке $(x_c, 0)$ — убывает. Поскольку $f(-1) = 0$, а на промежутке $(-1, x_c)$ функция возрастает, то для всех $x \in (-1, x_c]$ будет выполняться $f(x) > f(-1) = 0$. На промежутке $[x_c, 0)$ функция убывает. Ее наименьшее значение на этом промежутке будет стремиться к $f(0) = 9$. Значит, на этом промежутке $f(x) \ge f(0) = 9$. Следовательно, на всем промежутке $(-1, 0)$ значения функции $f(x)$ строго положительны. Корней здесь нет.

Мы рассмотрели все возможные значения $x$ и установили, что уравнение имеет решение только в точке $x = -1$.

Ответ: $-1$.