Номер 19.22, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.22, страница 197.

Условие.

19.22. Решите уравнение:

1) $4x^3 + x^7 = -5;$

2) $x^6 + 3x^8 = 4.$

Решение.

1) $4x^3 + x^7 = -5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^7 + 4x^3 + 5 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^7 + 4x^3 + 5$. Для решения уравнения нам нужно найти нули этой функции.

Попробуем найти корень уравнения методом подбора среди целых чисел. Проверим делители свободного члена (числа 5): $\pm1, \pm5$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^7 + 4(-1)^3 + 5 = -1 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$

Равенство верное, значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Чтобы определить, есть ли у уравнения другие корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (x^7 + 4x^3 + 5)' = 7x^6 + 12x^2$

Выражение $x^6$ и $x^2$ являются неотрицательными для любого действительного значения $x$ (т.е. $x^6 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$). Следовательно, их сумма с положительными коэффициентами $f'(x) = 7x^6 + 12x^2 \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная равна нулю только при $x=0$. Так как производная $f'(x)$ неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в одной точке, функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x = -1$, он является единственным действительным корнем уравнения.

Ответ: $-1$

2) $x^6 + 3x^8 = 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и запишем в порядке убывания степеней:

$3x^8 + x^6 - 4 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^8 + x^6 - 4$.

Попробуем найти корни методом подбора. Так как в уравнение входят только четные степени $x$, если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем.

Подставим $x = 1$:

$3(1)^8 + (1)^6 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$

Равенство верное, значит, $x = 1$ — корень уравнения.

Следовательно, $x = -1$ также должен быть корнем. Проверим:

$3(-1)^8 + (-1)^6 - 4 = 3(1) + 1 - 4 = 0$

Равенство верное, $x = -1$ — тоже корень.

Чтобы выяснить, есть ли другие корни, исследуем поведение функции $f(x)$ с помощью ее производной:

$f'(x) = (3x^8 + x^6 - 4)' = 24x^7 + 6x^5$

Вынесем общий множитель за скобки:

$f'(x) = 6x^5(4x^2 + 1)$

Выражение $4x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном $x$. Следовательно, знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком множителя $x^5$.

• При $x > 0$, $x^5 > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$.
• При $x < 0$, $x^5 < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(-\infty, 0)$.
• При $x = 0$, $f'(x) = 0$. Это точка локального минимума.

На промежутке $(0, +\infty)$ функция $f(x)$ строго возрастает, поэтому она может иметь не более одного корня. Мы уже нашли этот корень: $x = 1$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $f(x)$ строго убывает, поэтому она также может иметь не более одного корня. Мы нашли этот корень: $x = -1$.

Проверим значение функции в точке $x=0$: $f(0) = 3(0)^8 + (0)^6 - 4 = -4 \ne 0$, так что $x=0$ не является корнем.

Таким образом, уравнение имеет только два действительных корня.

Ответ: $-1; 1$