Номер 19.18, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.18, страница 196.

Условие.

19.18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $[-1; 1];$

4) $(-\infty; -2];$

5) $(-2; 1).$

Решение.

Для решения задачи проанализируем функцию $f(x) = x^8$. Это степенная функция с четным показателем степени. Ее основные свойства:

• Область определения — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^8 = x^8 = f(x)$. График симметричен относительно оси ординат.
• Производная функции $f'(x) = 8x^7$.
• При $x > 0$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x < 0$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x = 0$, $f'(x) = 0$. Точка $x=0$ является точкой глобального минимума, $f(0) = 0$.

1) [0; 2];

На промежутке $[0; 2]$ функция $f(x) = x^8$ монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой граничной точке, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 256.

2) [-2; -1];

На промежутке $[-2; -1]$ функция $f(x) = x^8$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^8 = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 256.

3) [-1; 1];

Промежуток $[-1; 1]$ содержит точку глобального минимума $x=0$. На этом отрезке функция сначала убывает (на $[-1; 0]$), а затем возрастает (на $[0; 1]$).
Наименьшее значение достигается в точке минимума: $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение нужно искать на концах отрезка.
$f(-1) = (-1)^8 = 1$.
$f(1) = 1^8 = 1$.
Таким образом, наибольшее значение равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) (-∞; -2];

На промежутке $(-\infty; -2]$ функция $f(x) = x^8$ монотонно убывает. Наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x=-2$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Поскольку промежуток неограничен слева, при $x \to -\infty$ значение функции $f(x) = x^8 \to +\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху на данном промежутке, и наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение 256, наибольшего значения не существует.

5) (-2; 1).

Промежуток $(-2; 1)$ является открытым интервалом и содержит точку глобального минимума $x=0$.
Следовательно, наименьшее значение функции на этом интервале равно $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Для поиска наибольшего значения рассмотрим поведение функции на границах интервала. Поскольку интервал открытый, значения в граничных точках $x=-2$ и $x=1$ не достигаются. Значения функции на интервале стремятся к $f(-2)=256$ и $f(1)=1$. Точная верхняя грань (супремум) значений функции на этом интервале равна $\sup_{x \in (-2;1)} f(x) = \max(f(-2), f(1)) = 256$. Однако, так как точка $x=-2$ не принадлежит интервалу, это значение не достигается. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном интервале не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.