Номер 19.14, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.14, страница 196.

Условие.

19.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x-2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Решение.

1)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим два случая:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком функции $y = x^4$. Это левая ветвь графика степенной функции, похожей на параболу. Она проходит через точки $(-1, 1)$, $(-2, 16)$ и стремится к точке $(0, 0)$ при $x \to 0^-$.
2. На промежутке $[0, \infty)$ график функции совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график квадратного корня, который начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

Объединив обе части, получаем график функции. В точке $x=0$ функция непрерывна, так как значение слева ($0^4=0$) совпадает со значением в самой точке ($\sqrt{0}=0$).

Пользуясь построенным графиком, определим промежутки монотонности:

• На промежутке $(-\infty, 0]$ график функции "спускается" слева направо, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $[0, \infty)$ график функции "поднимается" слева направо, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

2)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x-2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим два случая:

1. На промежутке $(-\infty, -1)$ график функции совпадает с графиком функции $y = x^5$. Это ветвь графика степенной функции, которая является возрастающей. На границе промежутка, при $x \to -1^-$, значение функции стремится к $(-1)^5 = -1$.
2. На промежутке $[-1, \infty)$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -x-2$. Это прямая, которую можно построить по двум точкам. Возьмем граничную точку $x = -1$, получим $y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, $x=0$, получим $y = -0-2 = -2$. Точка $(0, -2)$ также принадлежит графику.

Объединив обе части, получаем график функции. В точке $x=-1$ функция непрерывна, так как предел слева равен значению в самой точке (оба равны $-1$).

Пользуясь построенным графиком, определим промежутки монотонности:

• На промежутке $(-\infty, -1]$ график функции "поднимается" слева направо, следовательно, функция возрастает.
• На промежутке $[-1, \infty)$ график функции "спускается" слева направо (это прямая с отрицательным угловым коэффициентом $-1$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, \infty)$.