Номер 20.6, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.6, страница 203.

Условие.

20.6. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x - 1;$

2) $y = \frac{1}{x};$

3) $y = \frac{1}{2x + 1};$

4) $y = \frac{1}{3}x + 4.$

Решение.

Чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. В исходном уравнении функции $y = f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$.
2. В полученном выражении $x = g(y)$ поменять местами переменные $x$ и $y$. Полученная функция $y = g(x)$ будет являться обратной к исходной.

1) $y = 3x - 1$

Выразим $x$ через $y$:

$3x = y + 1$

$x = \frac{y + 1}{3}$

Теперь заменим $x$ на $y$, а $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{x + 1}{3}$

Ответ: $y = \frac{x + 1}{3}$

2) $y = \frac{1}{x}$

Выразим $x$ через $y$:

$x \cdot y = 1$

$x = \frac{1}{y}$

Заменим переменные $x$ и $y$ местами:

$y = \frac{1}{x}$

В данном случае функция является обратной самой себе.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$

3) $y = \frac{1}{2x + 1}$

Выразим $x$ через $y$ (при условии $y \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$):

$y(2x + 1) = 1$

$2x + 1 = \frac{1}{y}$

$2x = \frac{1}{y} - 1$

$2x = \frac{1 - y}{y}$

$x = \frac{1 - y}{2y}$

Заменим переменные $x$ и $y$ местами:

$y = \frac{1 - x}{2x}$

Ответ: $y = \frac{1 - x}{2x}$

4) $y = \frac{1}{3}x + 4$

Выразим $x$ через $y$:

$\frac{1}{3}x = y - 4$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3(y - 4)$

$x = 3y - 12$

Заменим переменные $x$ и $y$ местами:

$y = 3x - 12$

Ответ: $y = 3x - 12$