Номер 21.2, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.2, страница 208.

Условие.

21.2. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt[3]{343}$;

2) $\sqrt[4]{7 \frac{58}{81}}$;

3) $0,5 \sqrt[3]{-64}$;

4) $\sqrt[100]{49^{50}}$ ?

Решение.

1) $\sqrt[3]{343}$

Необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 343. Это и есть определение кубического корня. Подберем это число. Проверим число 7:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$ .
Таким образом, кубический корень из 343 равен 7.

Ответ: 7

2) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$

Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:
$7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567 + 58}{81} = \frac{625}{81}$ .

Теперь выражение принимает вид $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$ . Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ :
$\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$ .

Теперь вычислим корень четвертой степени из числителя и знаменателя отдельно:
$\sqrt[4]{625} = 5$ , так как $5^4 = 625$ .
$\sqrt[4]{81} = 3$ , так как $3^4 = 81$ .

Подставляем найденные значения: $\frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{5}{3}$ .

Ответ: $\frac{5}{3}$

3) $0,5\sqrt[3]{-64}$

Сначала найдем значение кубического корня $\sqrt[3]{-64}$ . Корень нечетной степени можно извлекать из отрицательных чисел. Мы ищем число, которое в кубе даст -64. Таким числом является -4:
$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$ .
Следовательно, $\sqrt[3]{-64} = -4$ .

Теперь умножим полученный результат на 0,5:
$0,5 \cdot (-4) = -2$ .

Ответ: -2

4) $\sqrt[100]{49^{50}}$

Для решения этого примера можно использовать свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ . Применим его:
$\sqrt[100]{49^{50}} = 49^{\frac{50}{100}} = 49^{\frac{1}{2}}$ .

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:
$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$ .

Есть и второй способ. Представим число 49 как степень числа 7: $49 = 7^2$ .
$\sqrt[100]{49^{50}} = \sqrt[100]{(7^2)^{50}}$ .

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , получаем:
$\sqrt[100]{7^{2 \cdot 50}} = \sqrt[100]{7^{100}}$ .

По определению корня n-ой степени $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для неотрицательных $a$ ):
$\sqrt[100]{7^{100}} = 7$ .

Ответ: 7