Номер 21.8, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.8, страница 209.

Условие.

21.8. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[4]{x-2}$;

2) $\sqrt[6]{x^2-4x+3}$;

3) $\sqrt[8]{3-|x|}$;

4) $\sqrt[10]{|x|(x-6)}$.

Решение.

1) $\sqrt[4]{x-2}$

Область определения выражения, содержащего корень четной степени, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае показатель корня равен 4 (четное число).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x - 2 \geq 0$

Перенесем -2 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \geq 2$

Таким образом, область определения выражения — это числовой промежуток от 2, включая 2, до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

2) $\sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$

Показатель корня равен 6 (четное число), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим квадратное неравенство:

$x^2 - 4x + 3 \geq 0$

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$. Значения функции неотрицательны на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс.

Это соответствует значениям $x \leq 1$ и $x \geq 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

3) $\sqrt[8]{3 - |x|}$

Показатель корня равен 8 (четное число), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$3 - |x| \geq 0$

Перенесем $|x|$ в правую часть:

$3 \geq |x|$

или

$|x| \leq 3$

Данное неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству:

$-3 \leq x \leq 3$

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

4) $\sqrt[10]{|x|(x - 6)}$

Показатель корня равен 10 (четное число), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$|x|(x - 6) \geq 0$

Множитель $|x|$ всегда неотрицателен для любого действительного числа $x$. Рассмотрим два случая:

а) Если $|x| = 0$, то есть $x = 0$. Подставив это значение в неравенство, получим $0 \cdot (0-6) \geq 0$, что равносильно $0 \geq 0$. Это верное утверждение, следовательно, $x=0$ входит в область определения.

б) Если $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $|x|$, при этом знак неравенства не изменится:

$x - 6 \geq 0$

$x \geq 6$

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что область определения состоит из точки $x=0$ и промежутка $[6, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [6, +\infty)$.