Номер 21.13, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.13, страница 209.

Условие.

21.13. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[3]{x})^3$;

2) $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

Решение.

1)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[3]{x})^3$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение $\sqrt[3]{x}$ (кубический корень) определено для любых действительных значений $x$.
Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение. По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$, где $n$ — нечетное натуральное число. В нашем случае $n=3$.
Таким образом, для всех $x$ из области определения имеем $(\sqrt[3]{x})^3 = x$.

Итак, исходная функция тождественно равна функции $y = x$.
Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, (0; 0) и (1; 1).

Ответ: График функции $y = (\sqrt[3]{x})^3$ — это прямая $y=x$.

2)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четной степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть при $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это луч $[0; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение. По определению корня четной степени, для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$, где $n$ — четное натуральное число. В нашем случае $n=4$.
Таким образом, для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) имеем $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.

Итак, исходная функция тождественно равна функции $y = x$ при условии $x \ge 0$.
Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат (точка (0; 0) принадлежит графику) и являющийся биссектрисой I координатной четверти.

Ответ: График функции $y = (\sqrt[4]{x})^4$ — это луч $y=x$ с началом в точке (0; 0), расположенный в первой координатной четверти ($x \ge 0$).