Номер 21.12, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.12, страница 209.

Условие.

21.12. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = -2;$

2) $\sqrt[4]{x} = -2;$

3) $\sqrt[5]{x} = -2;$

4) $\sqrt[4]{3x - 2} = 0;$

5) $\sqrt[4]{3x - 2} = 0;$

6) $\sqrt[4]{3x - 2} = 2.$

Решение.

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -2$.

Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в третью степень, так как это операция, обратная извлечению кубического корня.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-2)^3$

Выполняем вычисления:

$x = -8$

Проверка: $\sqrt[3]{-8} = -2$, что является верным равенством. Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом.

Ответ: $-8$

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = -2$.

По определению, арифметический корень четной степени (второй, четвертой, шестой и т.д.) из действительного числа не может быть отрицательным. Значение выражения $\sqrt[4]{x}$ всегда больше либо равно нулю для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$).

Так как правая часть уравнения равна $-2$ (отрицательное число), данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет корней

3) Дано уравнение $\sqrt[5]{x} = -2$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в пятую степень.

$(\sqrt[5]{x})^5 = (-2)^5$

Выполняем вычисления:

$x = -32$

Проверка: $\sqrt[5]{-32} = -2$. Равенство верно, так как корень нечетной степени может быть отрицательным.

Ответ: $-32$

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{3x} - 2 = 0$.

Сначала изолируем радикал, перенеся $-2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\sqrt[4]{3x} = 2$

Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{3x})^4 = 2^4$

$3x = 16$

Находим $x$:

$x = \frac{16}{3}$

Проверка: подкоренное выражение $3x$ должно быть неотрицательным. $3 \cdot \frac{16}{3} = 16 \ge 0$. Условие выполнено. Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[4]{3 \cdot \frac{16}{3}} - 2 = \sqrt[4]{16} - 2 = 2 - 2 = 0$. Решение верно.

Ответ: $\frac{16}{3}$

5) Дано уравнение $\sqrt[4]{3x - 2} = 0$.

Возводим обе части уравнения в четвертую степень, чтобы убрать корень:

$(\sqrt[4]{3x - 2})^4 = 0^4$

$3x - 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверка: подкоренное выражение $3x - 2$ должно быть неотрицательным. $3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \ge 0$. Условие выполнено. Решение верно.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Дано уравнение $\sqrt[4]{3x - 2} = 2$.

Возводим обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{3x - 2})^4 = 2^4$

$3x - 2 = 16$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 16 + 2$

$3x = 18$

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Проверка: подкоренное выражение $3x - 2$ должно быть неотрицательным. $3 \cdot 6 - 2 = 18 - 2 = 16 \ge 0$. Условие выполнено. Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[4]{3 \cdot 6 - 2} = \sqrt[4]{16} = 2$. Решение верно.

Ответ: $6$