Номер 21.19, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.19, страница 210.

Условие.

21.19. Постройте график функции:

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$;

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$.

Решение.

1) Рассмотрим функцию $y = x(\sqrt[4]{x})^4$.

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четной степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, областью определения функции является промежуток $x \ge 0$, или $x \in [0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции на ее области определения. По определению арифметического корня, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = x \cdot x = x^2$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $x \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только правую ветвь этой параболы, расположенную в первой координатной четверти.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы $y=x^2$ с вершиной в точке (0, 0), расположенная в первой координатной четверти.

2) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$.

Найдем область определения функции. Оба корня в выражении имеют четную степень (8 и 6), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2+x \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$

Следовательно, область определения функции — это отрезок $x \in [-2; 2]$.

Теперь упростим выражение для функции на этой области определения. Так как подкоренные выражения неотрицательны, мы можем использовать свойство $(\sqrt[2n]{a})^{2n} = a$ для $a \ge 0$.

$y = (2+x) + (2-x)$

$y = 2+x+2-x = 4$

Таким образом, для всех $x$ из области определения $[-2; 2]$ функция принимает постоянное значение $y = 4$.

Графиком данной функции является отрезок прямой, параллельной оси Ox, заключенный между точками с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$. Концами этого отрезка являются точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=4$, концы которого находятся в точках с координатами $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.