Номер 21.16, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.16, страница 210.

Условие.

21.16. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0;$

2) $(x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0.$

Решение.

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен). Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} x^2 - 4 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия, что подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным:

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Теперь решим каждое уравнение из совокупности отдельно и проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ.

а) $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, значит, является решением.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$ (так как $-2 < -1$), значит, является посторонним корнем.

б) $\sqrt[4]{x+1} = 0$

Возведя обе части в 4-ю степень, получим:

$x + 1 = 0$

$x_3 = -1$.

Корень $x_3 = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, значит, является решением.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $-1; 2$.

2) $(x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$

Как и в предыдущем случае, произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Для решения неравенства найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь рассмотрим два случая:

а) $x - 1 = 0$

$x = 1$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Значение $x=1$ не входит в область $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, следовательно, это посторонний корень.

б) $\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$

Возведем обе части в 10-ю степень:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Оба корня ($3$ и $-1$) принадлежат ОДЗ, так как являются граничными точками множества решений неравенства. Следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-1; 3$.