Номер 21.20, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.20, страница 210.

Условие.

21.20. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{2-x}$;

2) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$;

3) $y = \sqrt[3]{|x|}$;

4) $y = \sqrt[3]{|x|-1}$;

5) $y = \sqrt[3]{|x-1|}$;

6) $y = |\sqrt[3]{x+1}-2|$.

Решение.

1) $y = \sqrt[3]{2-x}$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Запишем функцию в виде $y = \sqrt[3]{-(x-2)}$.
2. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кривая, проходящая через начало координат, симметричная относительно него.
3. Отразим график $y = \sqrt[3]{x}$ симметрично относительно оси OY. Получим график функции $y = \sqrt[3]{-x}$.
4. Сдвинем полученный график $y = \sqrt[3]{-x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Получим искомый график $y = \sqrt[3]{-(x-2)}$.
Для точности построения найдем несколько точек:
- если $x = 2$, то $y = \sqrt[3]{2-2} = 0$. Точка $(2, 0)$.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{2-1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- если $x = 3$, то $y = \sqrt[3]{2-3} = -1$. Точка $(3, -1)$.
- если $x = -6$, то $y = \sqrt[3]{2-(-6)} = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка $(-6, 2)$.
- если $x = 10$, то $y = \sqrt[3]{2-10} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка $(10, -2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{2-x}$ получен из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси OY и последующего сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси OX.

2) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$

График этой функции также можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Сдвинем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Получим график функции $y = \sqrt[3]{x-2}$. "Центральная" точка графика сместится из $(0,0)$ в $(2,0)$.
3. Сдвинем полученный график $y = \sqrt[3]{x-2}$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Получим искомый график $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$. "Центральная" точка графика сместится из $(2,0)$ в $(2,-2)$.
Найдем контрольные точки:
- если $x = 2$, то $y = \sqrt[3]{2-2} - 2 = -2$. Точка $(2, -2)$.
- если $x = 3$, то $y = \sqrt[3]{3-2} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{1-2} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(1, -3)$.
- если $x = 10$, то $y = \sqrt[3]{10-2} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(10, 0)$ — пересечение с осью OX.
- если $x = -6$, то $y = \sqrt[3]{-6-2} - 2 = -2 - 2 = -4$. Точка $(-6, -4)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$ получен из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси OX и на 2 единицы вниз по оси OY.

3) $y = \sqrt[3]{|x|}$

Для построения графика раскроем модуль:
$y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \geq 0 \\ \sqrt[3]{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Это означает, что:
1. Для $x \geq 0$ (в правой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Для $x < 0$ (в левой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = \sqrt[3]{-x}$, который является зеркальным отражением графика $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси OY.
Таким образом, можно построить ветвь графика для $x \geq 0$ и отразить ее симметрично относительно оси OY. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.
Контрольные точки:
- если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
- если $x = 1$, то $y = 1$. Точка $(1, 1)$.
- если $x = -1$, то $y = 1$. Точка $(-1, 1)$.
- если $x = 8$, то $y = 2$. Точка $(8, 2)$.
- если $x = -8$, то $y = 2$. Точка $(-8, 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x|}$ состоит из двух ветвей: для $x \geq 0$ он совпадает с графиком $y = \sqrt[3]{x}$, а для $x < 0$ он симметричен ему относительно оси OY.

4) $y = \sqrt[3]{|x|} - 1$

Для построения этого графика воспользуемся графиком функции $y = \sqrt[3]{|x|}$, построенным в предыдущем пункте.
Данное преобразование $y = f(x) - 1$ соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
1. Строим график функции $y = \sqrt[3]{|x|}$.
2. Сдвигаем весь график на 1 единицу вниз.
Точка "излома" сместится из $(0,0)$ в $(0,-1)$.
Контрольные точки:
- если $x = 0$, то $y = \sqrt[3]{0} - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{1} - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
- если $x = -1$, то $y = \sqrt[3]{1} - 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
- если $x = 8$, то $y = \sqrt[3]{8} - 1 = 1$. Точка $(8, 1)$.
- если $x = -8$, то $y = \sqrt[3]{8} - 1 = 1$. Точка $(-8, 1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x|} - 1$ получен из графика $y = \sqrt[3]{|x|}$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

5) $y = \sqrt[3]{|x-1|}$

Для построения этого графика воспользуемся графиком функции $y = \sqrt[3]{|x|}$.
Данное преобразование $y = f(x-1)$ соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
1. Строим график функции $y = \sqrt[3]{|x|}$.
2. Сдвигаем весь график на 1 единицу вправо.
Точка "излома" сместится из $(0,0)$ в $(1,0)$. Ось симметрии графика сместится с $x=0$ на $x=1$.
Контрольные точки:
- если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{|1-1|} = 0$. Точка $(1, 0)$.
- если $x = 2$, то $y = \sqrt[3]{|2-1|} = 1$. Точка $(2, 1)$.
- если $x = 0$, то $y = \sqrt[3]{|0-1|} = 1$. Точка $(0, 1)$.
- если $x = 9$, то $y = \sqrt[3]{|9-1|} = 2$. Точка $(9, 2)$.
- если $x = -7$, то $y = \sqrt[3]{|-7-1|} = 2$. Точка $(-7, 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x-1|}$ получен из графика $y = \sqrt[3]{|x|}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

6) $y = |\sqrt[3]{x+1} - 2|$

Построение этого графика выполним в несколько этапов.
1. Сначала построим график функции, стоящей под знаком модуля: $g(x) = \sqrt[3]{x+1} - 2$. Этот график получается из графика $y=\sqrt[3]{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. "Центральная" точка графика $g(x)$ находится в точке $(-1, -2)$.
2. Найдем точку пересечения графика $g(x)$ с осью OX: $\sqrt[3]{x+1} - 2 = 0 \implies \sqrt[3]{x+1} = 2 \implies x+1 = 8 \implies x=7$. Точка пересечения $(7,0)$.
3. Теперь построим график искомой функции $y = |g(x)| = |\sqrt[3]{x+1} - 2|$. По определению модуля, $y=g(x)$ если $g(x) \geq 0$, и $y=-g(x)$ если $g(x) < 0$.
Это означает, что та часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси OX (при $x \geq 7$), остается без изменений. Та часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси OX (при $x < 7$), должна быть симметрично отражена относительно оси OX.
Ключевые точки графика $y = |\sqrt[3]{x+1} - 2|$:
- Точка $(-1, -2)$ на графике $g(x)$ перейдет в точку $(-1, 2)$ на искомом графике. Это будет точка "излома" (острие).
- Точка пересечения с осью OX $(7, 0)$ останется на месте.
- Точка пересечения с осью OY: $y(0) = |\sqrt[3]{0+1}-2| = |1-2|=1$. Точка $(0,1)$.
- Другие точки: при $x=-2, y = |\sqrt[3]{-1}-2| = |-3|=3$; при $x=-9, y = |\sqrt[3]{-8}-2| = |-4|=4$.

Ответ: График функции $y = |\sqrt[3]{x+1} - 2|$ получается из графика функции $g(x) = \sqrt[3]{x+1} - 2$ (который является графиком $y=\sqrt[3]{x}$, сдвинутым на 1 влево и 2 вниз) путем отражения его отрицательной части ($y<0$) симметрично относительно оси OX.