Номер 21.28, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.28, страница 210.

Условие.

21.28. Упростите выражение

$\left(\frac{x^2}{x-y} - y\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x+y}\right)^{-1}$

Решение.

Данное выражение можно упростить, выполнив действия по шагам. Обозначим исходное выражение как $A$.

$A = \left(\frac{x^2}{x-y} - y\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x+y}\right)^{-1}$

1. Упростим выражение в первой скобке.

Для этого приведем его к общему знаменателю $(x-y)$:

$\frac{x^2}{x-y} - y = \frac{x^2}{x-y} - \frac{y(x-y)}{x-y} = \frac{x^2 - (xy - y^2)}{x-y} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x-y}$

2. Упростим выражение во второй скобке.

Аналогично, приведем его к общему знаменателю $(x+y)$:

$x + \frac{y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} + \frac{y^2}{x+y} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное.

Теперь наше выражение $A$ выглядит так:

$A = \left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x-y}\right) \cdot \left(\frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}\right)^{-1}$

4. Применим свойство степени -1.

Возведение дроби в степень $-1$ означает, что мы должны "перевернуть" дробь (взять обратную):

$\left(\frac{x^2 + xy + y^2}{x+y}\right)^{-1} = \frac{x+y}{x^2 + xy + y^2}$

5. Выполним умножение дробей.

Теперь перемножим полученные дроби:

$A = \frac{x^2 - xy + y^2}{x-y} \cdot \frac{x+y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}$

6. Используем формулы сокращенного умножения.

Заметим, что в числителе и знаменателе получились выражения, соответствующие формулам суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Применив эти формулы к нашему выражению, получаем:

Числитель: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$

Знаменатель: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

Таким образом, окончательный результат:

$A = \frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$

Ответ: $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$