Номер 22.5, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.5, страница 215.

Условие.

22.5. Упростите выражение:

1) $\sqrt[5]{\sqrt{a}}$; 2) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$; 3) $\sqrt[15]{c^6}$; 4) $\sqrt[18]{a^8b^{24}}$; 5) $\sqrt[12]{81}$.

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{\sqrt[5]{a}} $, воспользуемся свойством корня из корня: $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x} $. Квадратный корень $ \sqrt{} $ имеет показатель 2, который обычно не пишется. Таким образом, получаем:

$ \sqrt{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[2]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[2 \cdot 5]{a} = \sqrt[10]{a} $

Другой способ — использовать степени с дробными показателями: $ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $.

$ \sqrt{\sqrt[5]{a}} = (a^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{a} $

Ответ: $ \sqrt[10]{a} $

2) Для упрощения выражения $ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} $ применим то же свойство, что и в предыдущем пункте: $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x} $.

$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[4 \cdot 3]{x} = \sqrt[12]{x} $

Используя степени с дробными показателями:

$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = (x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x} $

Ответ: $ \sqrt[12]{x} $

3) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[15]{c^6} $, воспользуемся свойством $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Это означает, что можно разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для показателей 15 и 6. НОД(15, 6) = 3.

Разделим показатель корня и показатель степени на 3:

$ \sqrt[15]{c^6} = \sqrt[15/3]{c^{6/3}} = \sqrt[5]{c^2} $

Используя степени с дробными показателями:

$ \sqrt[15]{c^6} = c^{\frac{6}{15}} = c^{\frac{6 \div 3}{15 \div 3}} = c^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{c^2} $

Ответ: $ \sqrt[5]{c^2} $

4) Для упрощения выражения $ \sqrt[18]{a^8 b^{24}} $ найдем наибольший общий делитель для показателя корня 18 и показателей степеней 8 и 24. НОД(18, 8, 24) = 2.

Разделим показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на 2:

$ \sqrt[18]{a^8 b^{24}} = \sqrt[18/2]{a^{8/2} b^{24/2}} = \sqrt[9]{a^4 b^{12}} $

Это выражение можно упростить дальше, так как показатель степени у переменной $b$ (12) больше показателя корня (9). Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[9]{a^4 b^{12}} = \sqrt[9]{a^4 \cdot b^9 \cdot b^3} = \sqrt[9]{b^9} \cdot \sqrt[9]{a^4 b^3} = b\sqrt[9]{a^4 b^3} $

Ответ: $ b\sqrt[9]{a^4 b^3} $

5) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[12]{81} $, сначала представим число 81 в виде степени с меньшим основанием. Мы знаем, что $ 81 = 3^4 $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt[12]{81} = \sqrt[12]{3^4} $

Теперь, как и в пункте 3, сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения. НОД(12, 4) = 4.

$ \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12/4]{3^{4/4}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3} $

Используя степени с дробными показателями:

$ \sqrt[12]{81} = 81^{\frac{1}{12}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = 3^{\frac{4}{12}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} $

Ответ: $ \sqrt[3]{3} $