Номер 22.8, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.8, страница 215.

Условие.

22.8. Представьте выражение $\sqrt[3]{b}$, $b \ge 0$, в виде корня:

1) шестой степени;

2) девятой степени;

3) пятнадцатой степени;

4) тридцатой степени.

Решение.

Для того чтобы представить корень n-ой степени в виде корня другой степени, мы используем основное свойство корня: `$\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$` (для `$a \ge 0$`). Это свойство позволяет изменять показатель корня, одновременно изменяя показатель степени подкоренного выражения. Исходное выражение: `$\sqrt[3]{b}$`, где `$b \ge 0$`. Это можно записать как `$\sqrt[3]{b^1}$`.

1) шестой степени

Нам нужно представить `$\sqrt[3]{b}$` в виде корня шестой степени. Новый показатель корня равен 6. Чтобы получить 6 из 3, нужно умножить на 2 (т.е., `$k=2$`). Следовательно, мы должны умножить показатель корня на 2 и возвести подкоренное выражение в степень 2.
`$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{b^2}$`.
Ответ: `$\sqrt[6]{b^2}$`.

2) девятой степени

Нам нужно представить `$\sqrt[3]{b}$` в виде корня девятой степени. Новый показатель корня равен 9. Чтобы получить 9 из 3, нужно умножить на 3 (т.е., `$k=3$`). Умножаем показатель корня на 3 и возводим подкоренное выражение в степень 3.
`$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 3]{b^{1 \cdot 3}} = \sqrt[9]{b^3}$`.
Ответ: `$\sqrt[9]{b^3}$`.

3) пятнадцатой степени

Нам нужно представить `$\sqrt[3]{b}$` в виде корня пятнадцатой степени. Новый показатель корня равен 15. Чтобы получить 15 из 3, нужно умножить на 5 (т.е., `$k=5$`). Умножаем показатель корня на 5 и возводим подкоренное выражение в степень 5.
`$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 5]{b^{1 \cdot 5}} = \sqrt[15]{b^5}$`.
Ответ: `$\sqrt[15]{b^5}$`.

4) тридцатой степени

Нам нужно представить `$\sqrt[3]{b}$` в виде корня тридцатой степени. Новый показатель корня равен 30. Чтобы получить 30 из 3, нужно умножить на 10 (т.е., `$k=10$`). Умножаем показатель корня на 10 и возводим подкоренное выражение в степень 10.
`$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 10]{b^{1 \cdot 10}} = \sqrt[30]{b^{10}}$`.
Ответ: `$\sqrt[30]{b^{10}}$`.