Номер 22.8, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.8. Представьте выражение $\sqrt[3]{b}$, $b \ge 0$, в виде корня:

1) шестой степени;

2) девятой степени;

3) пятнадцатой степени;

4) тридцатой степени.

Для того чтобы представить корень n-ой степени в виде корня другой степени, мы используем основное свойство корня: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$ (для $a \ge 0$). Это свойство позволяет изменять показатель корня, одновременно изменяя показатель степени подкоренного выражения. Исходное выражение: $\sqrt[3]{b}$, где $b \ge 0$. Это можно записать как $\sqrt[3]{b^1}$.

1) шестой степени

Нам нужно представить $\sqrt[3]{b}$ в виде корня шестой степени. Новый показатель корня равен 6. Чтобы получить 6 из 3, нужно умножить на 2 (т.е., $k=2$). Следовательно, мы должны умножить показатель корня на 2 и возвести подкоренное выражение в степень 2.
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{b^2}$.
Ответ: $\sqrt[6]{b^2}$.

2) девятой степени

Нам нужно представить $\sqrt[3]{b}$ в виде корня девятой степени. Новый показатель корня равен 9. Чтобы получить 9 из 3, нужно умножить на 3 (т.е., $k=3$). Умножаем показатель корня на 3 и возводим подкоренное выражение в степень 3.
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 3]{b^{1 \cdot 3}} = \sqrt[9]{b^3}$.
Ответ: $\sqrt[9]{b^3}$.

3) пятнадцатой степени

Нам нужно представить $\sqrt[3]{b}$ в виде корня пятнадцатой степени. Новый показатель корня равен 15. Чтобы получить 15 из 3, нужно умножить на 5 (т.е., $k=5$). Умножаем показатель корня на 5 и возводим подкоренное выражение в степень 5.
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 5]{b^{1 \cdot 5}} = \sqrt[15]{b^5}$.
Ответ: $\sqrt[15]{b^5}$.

4) тридцатой степени

Нам нужно представить $\sqrt[3]{b}$ в виде корня тридцатой степени. Новый показатель корня равен 30. Чтобы получить 30 из 3, нужно умножить на 10 (т.е., $k=10$). Умножаем показатель корня на 10 и возводим подкоренное выражение в степень 10.
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 10]{b^{1 \cdot 10}} = \sqrt[30]{b^{10}}$.
Ответ: $\sqrt[30]{b^{10}}$.