Номер 22.9, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.9, страница 215.

Условие.

22.9. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{16};$

2) $\sqrt[4]{162};$

3) $\sqrt[3]{250};$

4) $\sqrt[6]{7290};$

5) $\sqrt[3]{40a^5};$

6) $\sqrt[3]{-a^7};$

7) $\sqrt[3]{-54a^5b^9};$

8) $\sqrt[3]{-108a^7b^{10}}.$

Решение.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, один из которых является кубом. Число 16 можно разложить на множители как $8 \cdot 2$, где $8$ это $2^3$.
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{2}$

2) Для извлечения множителя из-под корня четвертой степени, разложим 162 на множители. $162 = 81 \cdot 2$. Число 81 является четвертой степенью числа 3, т.е. $81=3^4$.
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$

3) Разложим число 250 на множители. $250 = 125 \cdot 2$. Число 125 является кубом числа 5, т.е. $125=5^3$.
$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{2}$

4) Разложим число 7290 на множители. $7290 = 729 \cdot 10$. Число 729 является шестой степенью числа 3, т.е. $729=3^6$.
$\sqrt[6]{7290} = \sqrt[6]{729 \cdot 10} = \sqrt[6]{3^6 \cdot 10} = \sqrt[6]{3^6} \cdot \sqrt[6]{10} = 3\sqrt[6]{10}$.
Ответ: $3\sqrt[6]{10}$

5) Представим подкоренное выражение $\sqrt[3]{40a^5}$ в виде произведения множителей, которые можно извлечь из-под кубического корня. Разложим 40 как $8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$, а $a^5$ как $a^3 \cdot a^2$.
$\sqrt[3]{40a^5} = \sqrt[3]{(8 \cdot a^3) \cdot (5 \cdot a^2)} = \sqrt[3]{(2a)^3 \cdot 5a^2} = \sqrt[3]{(2a)^3} \cdot \sqrt[3]{5a^2} = 2a\sqrt[3]{5a^2}$.
Ответ: $2a\sqrt[3]{5a^2}$

6) Представим подкоренное выражение $\sqrt[3]{-a^7}$ в виде произведения. Знак минус можно вынести из-под корня нечетной степени. Показатель степени $a^7$ можно представить как $a^6 \cdot a$, где $a^6 = (a^2)^3$ является кубом.
$\sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^6 \cdot a} = \sqrt[3]{(-1)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot a} = \sqrt[3]{(-a^2)^3} \cdot \sqrt[3]{a} = -a^2\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $-a^2\sqrt[3]{a}$

7) Разложим подкоренное выражение $\sqrt[3]{-54a^5b^9}$ на множители. $-54 = -27 \cdot 2 = (-3)^3 \cdot 2$. $a^5 = a^3 \cdot a^2$. $b^9 = (b^3)^3$.
$\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{(-27 \cdot a^3 \cdot b^9) \cdot (2 \cdot a^2)} = \sqrt[3]{((-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3) \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{(-3ab^3)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.
Ответ: $-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$

8) Разложим подкоренное выражение $\sqrt[3]{-108a^7b^{10}}$ на множители. $-108 = -27 \cdot 4 = (-3)^3 \cdot 4$. $a^7 = a^6 \cdot a = (a^2)^3 \cdot a$. $b^{10} = b^9 \cdot b = (b^3)^3 \cdot b$.
$\sqrt[3]{-108a^7b^{10}} = \sqrt[3]{(-27 \cdot a^6 \cdot b^9) \cdot (4 \cdot a \cdot b)} = \sqrt[3]{((-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3) \cdot 4ab} = \sqrt[3]{(-3a^2b^3)^3} \cdot \sqrt[3]{4ab} = -3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}$.
Ответ: $-3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}$