Номер 22.15, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.15, страница 216.

Условие.

22.15. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2\sqrt{3}}$

2) $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$

3) $\sqrt[4]{a^3\sqrt{a}}$

4) $\sqrt[5]{b^6\sqrt{b}}$

5) $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$

6) $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2\sqrt{3}}$, внесем множитель 2 под внутренний знак корня, для этого возведем его в квадрат:$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$. Далее воспользуемся свойством корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$.
Ответ: $\sqrt[4]{12}$.

2) Внесем множитель 3 под внутренний знак корня, возведя его в куб:$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{27 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{54}}$. Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получим:$\sqrt[3]{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3 \cdot 3]{54} = \sqrt[9]{54}$.
Ответ: $\sqrt[9]{54}$.

3) Внесем множитель $a$ под внутренний знак корня, возведя его в куб:$\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^3 \cdot a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}}$. Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получим:$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^4} = \sqrt[12]{a^4}$. Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 4:$\sqrt[12]{a^4} = a^{\frac{4}{12}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

4) Внесем множитель $b$ под внутренний знак корня, возведя его в степень 6:$\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^6 \cdot b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}}$. Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получим:$\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}} = \sqrt[5 \cdot 6]{b^7} = \sqrt[30]{b^7}$.
Ответ: $\sqrt[30]{b^7}$.

5) Внесем множитель $x^3$ под внутренний знак корня, возведя его в куб:$\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^9 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}}$. Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получим:$\sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}} = \sqrt[8 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[24]{x^{16}}$. Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 8:$\sqrt[24]{x^{16}} = x^{\frac{16}{24}} = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

6) Упростим выражение, работая изнутри наружу. Сначала внесем множитель 2 под самый внутренний корень:$2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{8}$. Выражение примет вид: $\sqrt[3]{2\sqrt{\sqrt{8}}}$. По свойству $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, имеем $\sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[2 \cdot 2]{8} = \sqrt[4]{8}$. Выражение примет вид: $\sqrt[3]{2\sqrt[4]{8}}$. Внесем множитель 2 под знак корня 4-й степени:$\sqrt[3]{2\sqrt[4]{8}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{2^4 \cdot 8}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{16 \cdot 8}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{128}}$. Используя еще раз свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:$\sqrt[3]{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[3 \cdot 4]{128} = \sqrt[12]{128}$. Так как $128 = 2^7$, то можно записать ответ как $\sqrt[12]{2^7}$.
Ответ: $\sqrt[12]{128}$.