Номер 22.20, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.20, страница 217.

Условие.

22.20. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1}$;

2) $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}}$;

3) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$;

4) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$;

5) $\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}}$;

6) $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$.

Решение.

1) Исходная дробь: $\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} - 1}$

Заметим, что знаменатель можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов. Для этого представим $\sqrt[3]{a}$ как квадрат $\sqrt[6]{a}$:

$\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = (a^{1/6})^2 = (\sqrt[6]{a})^2$

Теперь знаменатель можно записать как:

$\sqrt[3]{a} - 1 = (\sqrt[6]{a})^2 - 1^2 = (\sqrt[6]{a} - 1)(\sqrt[6]{a} + 1)$

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} - 1)(\sqrt[6]{a} + 1)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[6]{a} + 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}$

2) Исходная дробь: $\frac{\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n}}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. Представим корни с меньшим показателем:

$\sqrt{m} = (\sqrt[4]{m})^2$

$\sqrt{n} = (\sqrt[4]{n})^2$

$\sqrt[4]{mn} = \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n}$

Преобразуем числитель:

$\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn} = (\sqrt[4]{m})^2 - \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n} = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$

Преобразуем знаменатель:

$\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n} = \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n} - (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$:

$\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}} = \sqrt[4]{\frac{m}{n}}$

Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$

3) Исходная дробь: $\frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим числитель в виде разности кубов, где $a = (\sqrt[3]{a})^3$ и $b = (\sqrt[3]{b})^3$.

$a - b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2)$

Упростим вторую скобку:

$(\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

Подставим разложенный числитель в дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$:

$\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

4) Исходная дробь: $\frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$

Разделим дробь на две части:

$\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} - \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$

Используем свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и сократим каждую часть:

$\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{a}} - \frac{b}{\sqrt{b}}$

Упростим полученное выражение, зная, что $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$:

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

5) Исходная дробь: $\frac{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b}}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель $\sqrt[3]{a}$:

$\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)$

В знаменателе общий множитель $\sqrt[3]{a^2b}$:

$\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b \cdot b} + \sqrt[3]{a^2b \cdot 1} = \sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b} + 1)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b} + 1)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{b} + 1)$:

$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}}$

Упростим, используя свойства степеней ($\frac{a^{1/3}}{a^{2/3}} = a^{1/3 - 2/3} = a^{-1/3}$):

$\frac{a^{1/3}}{a^{2/3}b^{1/3}} = \frac{1}{a^{1/3}b^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

6) Исходная дробь: $\frac{3 + \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{3}{\sqrt[4]{3}} + \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$

Второй член равен 1. Преобразуем первый член, представив число 3 в виде степени с основанием $\sqrt[4]{3}$:

$3 = (\sqrt[4]{3})^4$

Подставим это в первый член:

$\frac{(\sqrt[4]{3})^4}{\sqrt[4]{3}} = (\sqrt[4]{3})^{4-1} = (\sqrt[4]{3})^3 = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\sqrt[4]{27} + 1$

Ответ: $1 + \sqrt[4]{27}$