Номер 22.24, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.24, страница 217.

Условие.

22.24. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2}$;

2) $\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x}$;

3) $\sqrt[3]{(x - 6)(x - 10)} = \sqrt[3]{x - 6} \cdot \sqrt[3]{x - 10}$?

Решение.

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2}$

Данное равенство имеет вид $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n=4$ является четным числом. Свойство корня из произведения справедливо для корней четной степени только в том случае, когда множители под корнями неотрицательны. То есть, равенство выполняется, если одновременно выполняются условия:

$x - 2 \ge 0$ и $x + 2 \ge 0$.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Пересечением решений $x \ge 2$ и $x \ge -2$ является промежуток $x \ge 2$.

При этих значениях $x$ обе части равенства определены и равны друг другу.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

2) $\sqrt[8]{(x-3)(7-x)} = \sqrt[8]{x-3} \cdot \sqrt[8]{7-x}$

Это равенство также имеет вид $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n=8$ – четное число. Равенство верно, когда подкоренные выражения в правой части неотрицательны.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases}$

Общим решением системы является промежуток $3 \le x \le 7$.

Ответ: $x \in [3; 7]$.

3) $\sqrt[3]{(x-6)(x-10)} = \sqrt[3]{x-6} \cdot \sqrt[3]{x-10}$

В данном случае равенство имеет вид $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n=3$ – нечетное число. Свойство корня из произведения для корней нечетной степени справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Корень нечетной степени (кубический корень) определен для любого действительного числа. Следовательно, все выражения в данном равенстве ($\sqrt[3]{(x-6)(x-10)}$, $\sqrt[3]{x-6}$ и $\sqrt[3]{x-10}$) определены для любого действительного значения $x$.

Поскольку тождество $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$ верно для всех действительных $a$ и $b$, данное равенство выполняется при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.