Номер 22.26, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.26, страница 217.

Условие.

22.26. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{625a^{24}}$;

2) $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$, если $b \ge 0$;

3) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \le 0$;

4) $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$, если $p \ge 0$;

5) $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$, если $m \le 0, n \le 0$;

6) $ab^2\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$, если $b \ge 0, c \le 0$.

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a^{24}}$ представим подкоренное выражение в виде четвертой степени.
Число $625$ это $5^4$. Переменную $a^{24}$ можно представить как $(a^6)^4$.
Получаем: $\sqrt[4]{625a^{24}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (a^6)^4} = \sqrt[4]{(5a^6)^4}$.
При извлечении корня четной степени из выражения в той же степени используется правило $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Следовательно, $\sqrt[4]{(5a^6)^4} = |5a^6|$.
Поскольку $a^6 = (a^3)^2$ всегда является неотрицательным числом ($a^6 \ge 0$) для любого значения $a$, то и произведение $5a^6$ также неотрицательно.
Таким образом, $|5a^6| = 5a^6$.
Ответ: $5a^6$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$ при условии, что $b \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени.
$0,0001 = 10^{-4} = (0,1)^4$. Выражение $b^{20}$ можно представить как $(b^5)^4$.
Получаем: $\sqrt[4]{0,0001b^{20}} = \sqrt[4]{(0,1)^4 \cdot (b^5)^4} = \sqrt[4]{(0,1b^5)^4}$.
Так как показатель корня ($4$) — четное число, применяем правило $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
$\sqrt[4]{(0,1b^5)^4} = |0,1b^5|$.
По условию $b \ge 0$, следовательно, $b^5$ также будет неотрицательным ($b^5 \ge 0$). Значит, и все выражение $0,1b^5$ неотрицательно.
Поэтому, $|0,1b^5| = 0,1b^5$.
Ответ: $0,1b^5$.

3) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$ при условии, что $x \le 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{(2x)^2}$.
По свойству квадратного корня $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем $\sqrt{(2x)^2} = |2x| = 2|x|$.
Подставим это в исходное выражение: $-5 \cdot (2|x|) = -10|x|$.
Теперь используем условие $x \le 0$. По определению модуля, если число неположительное, его модуль равен этому числу, умноженному на $-1$. То есть, $|x| = -x$.
Заменяем $|x|$ на $-x$: $-10|x| = -10(-x) = 10x$.
Ответ: $10x$.

4) Упростим выражение $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$ при условии, что $p \ge 0$.
Представим степени подкоренного выражения кратными показателю корня $10$:
$p^{30} = (p^3)^{10}$ и $q^{40} = (q^4)^{10}$.
$\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}(q^4)^{10}} = \sqrt[10]{(p^3q^4)^{10}}$.
Поскольку показатель корня $10$ — четное число, применяем правило модуля: $\sqrt[10]{(p^3q^4)^{10}} = |p^3q^4| = |p^3| \cdot |q^4|$.
Раскроем модули. По условию $p \ge 0$, значит $p^3 \ge 0$, и $|p^3| = p^3$.
Выражение $q^4 = (q^2)^2$ всегда неотрицательно при любом $q$, поэтому $|q^4| = q^4$.
Перемножим результаты: $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.
Ответ: $p^3q^4$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$ при условии, что $m \le 0$ и $n \le 0$.
Представим степени под корнем как кратные показателю корня $12$:
$m^{36} = (m^3)^{12}$ и $n^{60} = (n^5)^{12}$.
$\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{(m^3)^{12}(n^5)^{12}} = |m^3n^5| = |m^3| \cdot |n^5|$.
Раскроем модули, используя данные условия.
Поскольку $m \le 0$, его нечетная степень $m^3$ также будет неположительной ($m^3 \le 0$). Следовательно, $|m^3| = -m^3$.
Аналогично, поскольку $n \le 0$, его нечетная степень $n^5$ также будет неположительной ($n^5 \le 0$). Следовательно, $|n^5| = -n^5$.
Перемножим полученные выражения: $(-m^3) \cdot (-n^5) = m^3n^5$.
Ответ: $m^3n^5$.

6) Упростим выражение $ab^2\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$ при условии, что $b \ge 0$ и $c \le 0$.
Сначала упростим корень. Показатель корня $4$ — четный.
$\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}} = \sqrt[4]{(a^{12})^4(b^9)^4(c^{11})^4} = |a^{12}b^9c^{11}| = |a^{12}| \cdot |b^9| \cdot |c^{11}|$.
Раскроем модули с учетом условий и свойств степеней.
Выражение $a^{12} = (a^6)^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^{12}| = a^{12}$.
По условию $b \ge 0$, нечетная степень $b^9$ также будет неотрицательной ($b^9 \ge 0$), поэтому $|b^9| = b^9$.
По условию $c \le 0$, нечетная степень $c^{11}$ будет неположительной ($c^{11} \le 0$), поэтому $|c^{11}| = -c^{11}$.
Таким образом, значение корня равно $a^{12} \cdot b^9 \cdot (-c^{11}) = -a^{12}b^9c^{11}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ab^2 \cdot (-a^{12}b^9c^{11}) = - (a \cdot a^{12}) \cdot (b^2 \cdot b^9) \cdot c^{11} = -a^{1+12}b^{2+9}c^{11} = -a^{13}b^{11}c^{11}$.
Ответ: $-a^{13}b^{11}c^{11}$.